Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 21 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                          21

òû   x â íîâîì áàçèñå
      x i′ = Aii′ x i .                                              (1.5.11)
    Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðè ïîìîùè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
âûðàçèì ñòàðûå êîîðäèíàòû âåêòîðà x , ÷åðåç íîâûå êîîðäèíàòû:
      x i = Aii′ x i′ .                                              (1.5.12)

      Ñðàâíèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ áàçèñà              e1 , e2 ,..., en
                                                   1   2    n
(1.5.3) è êîîðäèíàò èíâàðèàíòíîãî âåêòîðà x , x ,..., x (1.5.10). Ìû âè-
äèì, ÷òî ìàòðèöû ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàçëè÷íû, ìàòðèöà ïðåîáðàçî-
âàíèÿ (1.5.10) åñòü òðàíñïîíèðîâàííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà ïðåîáðàçîâà-
íèÿ (1.5.3).
      Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.11) èìååò âèä

                  A11′   A21′ ...    An1′ 
                  2′                        
                          A22 ′ ...   An2 ′  ,
      (A )
         −1 T    A
                = 1                                                 (1.5.13)
                   ...     .. ...     ... 
                  ′                         
                  An     A2n ′ ...   Ann ′ 
                  1
òî åñòü ïîëó÷àåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì (ïîâîðîòîì íà 1800 âîêðóã ãëàâ-
íîé äèàãîíàëè) ìàòðèöû (1.5.6), à ýòà ïîñëåäíÿÿ ìàòðèöà – âçàèìíî îá-
ðàòíàÿ ñ ìàòðèöåé (1.5.4) ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.3).
      Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ áàçèñà è êîîðäèíàò èíâàðèàí-
òíîãî âåêòîðà ïðè ïåðåõîäå îò ñòàðîãî áàçèñà ê íîâîìó
      ei′ = Aii′ ei ,                                                (1.5.14)

      x i′ = Aii′ x i                                                (1.5.15)
ÿâëÿþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè äëÿ òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ, êîòîðîå ìû
ðàññìîòðèì â ãëàâå III.

       §1.6. Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ

     Ðàññìîòðèì äâà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà L è L′ ìåæäó êîòîðûìè
óñòàíîâëåíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, òî åñòü:
      1) êàæäîìó âåêòîðó a èç         L ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð a ′ èç L′ ;