Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 19 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                                        19

e1 , e2 ,..., en ; ÷èñëîâûå êîýôôèöèåíòû x1 , x 2 ,..., x n íàçûâàþòñÿ êîîðäè-
íàòàìè âåêòîðà x â ýòîì áàçèñå.
     Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïðîèçâîëå â âûáîðå áàçèñà è âûâåäåì ïðàâè-
ëî ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó.
     Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé áàçèñ                e1 , e2 ,..., en è ïóñòü e1′ , e2′ ,..., en′ íå-
êîòîðûé íîâûé áàçèñ.
     Ñîãëàñíî (1.5.1) êàæäûé èç âåêòîðîâ íîâîãî áàçèñà                       e1′ , e2′ ,..., en′
ìîæåò áûòü ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì ñòàðîãî áàçèñà                    e1 , e2 ,..., en . Îáîçíà-
÷àÿ êîýôôèöèåíòû ýòèõ ðàçëîæåíèé áóêâîé                      A ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
èíäåêñàìè, ìû ìîæåì çàïèñàòü:

      e1′ = A11′ e1 + A12′ e2 + ... + A1n′ en , 
                                                
      e2′ = A21′ e1 + A22′ e2 + ... + A2n′ en ,                                  (1.5.2)
                                                
      en′ = An1′ e1 + An2′ e2 + ... + Ann′ en ,
èëè â ñîêðàù¸ííîé çàïèñè
      ei′ = Aii′ ei .                                                             (1.5.3)

     Ðàâåíñòâî (1.5.2) ãîâîðèò î òîì, ÷òî âåêòîðû                  e1′ , e2′ ,..., en′ íîâîãî
áàçèñà ìîãóò áûòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíî ïðè óñëîâèè ñîáëþäåíèÿ ëè-
íåéíîé íåçàâèñèìîñòè. Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ                        e1′ , e2′ ,..., en′
ðàâíîñèëüíà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ
(1.5.2):

           A11′        A12′ ...   A1n′ 
           1                            
          A            A22′ ...   A2n′  ,                                       (1.5.4)
      A =  2′
            ...         ... ...    ... 
                                        
           A1          An2′ ...   Ann′ 
           n′
òî åñòü, ñîîòâåòñòâóþùèé îïðåäåëèòåëü äîëæåí áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ:

      det Aii′ ≠ 0 .                                                              (1.5.5)