Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 17 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                             17

         §1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü

     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì äàíî êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî
ïðîñòðàíñòâà a ,b , c ,..., q è ïðîèçâîëüíûé íàáîð ÷èñåë α ,β , γ ,..., χ .
     Îïðåäåëåíèå 1. Âñÿêèé ýëåìåíò x ïðîñòðàíñòâà L , ïðåäñòàâèìûé
â âèäå
         x = αa + β b + γc + ... + χq                                   (1.4.1)
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ         a , b , c ,..., q .
     Îïðåäåëåíèå 2. Ñèñòåìà âåêòîðîâ a , b , c ,..., q íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî
çàâèñèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (1.4.1) ðàâíàÿ íóëåâîìó
âåêòîðó θ , ãäå ñðåäè ÷èñåë    α ,β , γ ,..., χ õîòÿ áû îäíî îòëè÷íî îò íóëÿ.
     Îïðåäåëåíèå 3. Ñèñòåìà âåêòîðîâ         a , b , c ,..., q íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî
íåçàâèñèìîé, åñëè ðàâåíñòâî
     αa + βb + γc + ... + χq = θ
âîçìîæíî òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå, åñëè
      α = β = γ = ... = χ = 0 .
     Ïðèâåä¸ì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ââåä¸ííûõ ïîíÿòèé, äîêàçàòåëüñòâà
êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â ñîîòâåòñòâóþùåé ëèòåðàòóðå.
     1. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî âåêòîðà, ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòîò âåêòîð íóëåâîé.
     2. Åñëè ÷àñòü ñèñòåìû ëèíåéíî çàâèñèìà, òî âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî
çàâèñèìà.
     3. Åñëè âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî íåçàâèñèìà è ëþáàÿ å¸
÷àñòü.
     4. Äëÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâî-
âàíèÿ âåêòîðà, êîòîðûé ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå âåêòîðû
ýòîé ñèñòåìû.

         §1.5. Êîíå÷íîìåðíûå è áåñêîíå÷íîìåðíûå
               ïðîñòðàíñòâà. Áàçèñ

     Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ n - ìåðíûì, åñëè â í¸ì èìååòñÿ
ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ êîìáèíàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n âåêòîðîâ, à âñÿêàÿ êîìáè-
íàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç áîëüøåãî ÷èñëà âåêòîðîâ, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé.