Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 16 стр.

16                                                               Ãëàâà ïåðâàÿ

    Ïîëàãàÿ       x + y1 = θ è x + y 2 = θ , íà îñíîâàíèè àêñèîì 1 ÷ 4 ïî-
ëó÷èì:
      y 2 = y2 + θ = y 2 + (x + y1 ) = ( y 2 + x ) + y1 =
     = (x + y 2 ) + y1 = θ + y1 = y1 ,
òî åñòü   y1 = y 2 .
     3. Ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî âåêòîðà x íà ÷èñëî 0 ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó θ .
     Ïóñòü y - âåêòîð ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó x , òîãäà ñ ïîìîùüþ
àêñèîì 2 ÷ 5 è 7 ïîëó÷èì:
     0 ⋅ x = 0 ⋅ x + θ = 0 ⋅ x + (x + y ) = (0 + 1) ⋅ x + y = x + y = θ .
    4. Ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî âåêòîðà x íà ÷èñëî –1 ðàâíî âåêòîðó, ïðî-
òèâîïîëîæíîìó x .
    Ïîêàæåì, ÷òî x + (− 1) ⋅ x = θ .
     Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå 3 è àêñèîìû 5 è 7 ïîëó÷èì:
     x + (− 1) ⋅ x = (1 − 1) ⋅ x = 0 ⋅ x = θ , òî åñòü (− 1) ⋅ x = − x .
     5. Ïðîèçâåäåíèå íóëåâîãî âåêòîðà θ íà ëþáîå ÷èñëî α ðàâíî íó-
ëåâîìó âåêòîðó.
     Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x èñïîëüçóÿ àêñèîìó 6 è ñëåäñòâèå 3,
ïîëó÷èì:
     αθ = α(0 ⋅ x ) = (α ⋅ 0 ) ⋅ x = 0 ⋅ x = θ .
     6. Äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ     a è b ñóùåñòâóåò ðàçíîñòü, è ïðè ýòîì
åäèíñòâåííàÿ.
    Ïóñòü      x = b + (− 1)a . Èñïîëüçóÿ àêñèîìû 2,3,5,7 è ñâîéñòâî 3 ïî-
ëó÷èì:
     x + a = b + (− 1) ⋅ a + a = b + (− 1 + 1) ⋅ a = b + 0 ⋅ a = b ,
òî åñòü x = b − a .
     Åñëè âåêòîð       x åñòü ðàçíîñòü b − a , òî åãî âñåãäà ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå x = b + (− 1) ⋅ a . Èç ðàâåíñòâà x + a = b ñ ïîìîùüþ àêñè-
îì 2,3,5,7 è ñâîéñòâà 3 ïîëó÷èì:
     x = x + θ = x + (1 − 1) ⋅ a = x + a + (− 1) ⋅ a = b + (− 1) ⋅ a .