Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 14 стр.

14                                                           Ãëàâà ïåðâàÿ

     a + b = (aik ) + (bik ),
                                                                 (1.2.6)
     αa = (αaik ).           
     Åñëè â êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà ìû âîçüì¸ì m × n - ìàòðè-
öó ñîñòîÿùóþ èç îäíèõ òîëüêî íóëåé, à ìàòðèöó ïðîòèâîïîëîæíóþ
ìàòðèöå a îïðåäåëèì êàê           (− aik ) , òî, î÷åâèäíî, áóäóò âûïîëíåíû
âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè
äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî           L , ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâ-
ëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ìàòðèöû.
    Çàìå÷àíèå: Åñëè ïîëîæèòü m = 1 (ïðè äàííîì n ), ìû ïîëó÷èì
ìàòðèöó-ñòðîêó èç n ÷èñåë. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî òàêèõ ìàòðèö ñî-
âïàäàåò ñ êîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì          R(n ) .
     Åñëè ïîëîæèòü n = 1 (ïðè äàííîì m ), ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó-ñòîë-
áåö èç m ÷èñåë. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî òàêèõ ìàòðèö áóäåò ñîâïàäàòü ñ
êîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì      R(m ) .
     Ñàìî ïðîñòðàíñòâî m × n - ìàòðèö îáðàçóåò êîîðäèíàòíîå ïðî-
ñòðàíñòâî R (mn ) , òàê êàê íè÷òî íå ìåøàåò íàì óñòàíîâèòü äëÿ âñåõ ýëå-
ìåíòîâ ìàòðèö îáùóþ íóìåðàöèþ è âûïèñàòü èõ â îäíó ñòðîêó.

     1.2.5. Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.
     Âîçüì¸ì íà ÷èñëîâîé îñè ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê        τ1 ≤ τ ≤ τ 2 è îáî-
çíà÷èì ÷åðåç   L ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ýòîì îòðåçêå
è ïðèíèìàþùèõ íà í¸ì äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Îáîçíà÷èì x èç L
êàê x = ψ (τ ) . Ñ÷èòàÿ x ïðîèçâîëüíûì, ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ïðîèç-

âîëüíûé ýëåìåíò èç      L y = ϕ (τ ) . Ýëåìåíòû x è y áóäåì ñ÷èòàòü ðàâ-
íûìè â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ψ (τ ) ≡ ϕ (τ ), òî åñòü êîãäà ψ (τ )

è ϕ (τ ) ñîâïàäàþò â ëþáîé òî÷êå        τ îòðåçêà τ1 ≤ τ ≤ τ 2 . Îïðåäåëèì
ëèíåéíûå îïåðàöèè êàê
      x + y = ψ (τ ) + ϕ (τ ) ,     αx = αψ (τ ) ,                (1.2.7)
ãäå α - ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.