Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 12 стр.

12                                                                  Ãëàâà ïåðâàÿ

      Äîïóñòèìûå çàìåíû âåêòîðà çàêëþ÷àþòñÿ â åãî ïàðàëëåëüíûõ ïå-
ðåíîñàõ ê íîâûì òî÷êàì ïðèëîæåíèÿ. Ñîáëþäåíèå ïåðâûõ òð¸õ óñëîâèé
§1.1. ïðè ýòîì î÷åâèäíî. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ âûïîëíÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
ïàðàëëåëîãðàììà, à óìíîæåíèå íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî α åñòü ðàñòÿ-
æåíèå âåêòîðà â α ðàç, ñ ó÷¸òîì íàïðàâëåíèÿ. Îáå îïåðàöèè èíâàðèàí-
òíû îòíîñèòåëüíî äîïóñòèìûõ çàìåí. Â ñàìîì äåëå, åñëè a = a ′ , b = b′ ,
òî ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà âåêòîðàõ    a ′, b′ , ïîëó÷àåòñÿ ïàðàë-
ëåëüíûì ïåðåíîñîì ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b ,
òåì ñàìûì, âåêòîð a ′ + b′ ïîëó÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âåêòîðó a + b , òî
åñòü a + b = a ′ + b′ . Ñ ïîìîùüþ ïîäîáíîãî ðàññóæäåíèÿ ìû ìîæåì äî-
êàçàòü, ÷òî αa ′ = αa .
     Âåêòîðû ñ óêàçàííûì îïðåäåëåíèåì ëèíåéíûõ îïåðàöèé îáðàçóþò
äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.  êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà
âûñòóïàåò íóëü-âåêòîð – âåêòîð íóëåâîé äëèíû.  êà÷åñòâå âåêòîðà y
ïðîòèâîïîëîæíîãî âåêòîðó x ïðèìåì âåêòîð y = − x , òî åñòü âåêòîð
òîé æå äëèíû, íî ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ.
     Òðåáîâàíèÿ àêñèîì (1) ÷ (8) ïðè ýòîì áóäóò ñîáëþäåíû.

      1.2.2. Íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî.
      Ïóñòü  L ñîñòîèò èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà θ , òàêîãî, ÷òî
θ + θ = θ , à αθ = θ . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ âñå
âîñåìü àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè
ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîãî íóëåâîãî ýëåìåíòà.
      çàâèñèìîñòè îò òîãî, ê êàêîìó ïîëþ ïðèíàäëåæàò ÷èñëà α , ìû
áóäåì ïîëó÷àòü íóëåâûå ïðîñòðàíñòâà íàä ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëåì, òàê
êàê ïîëå âõîäèò â îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.

      1.2.3. Êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî.
     Ïóñòü òåïåðü ýëåìåíòàìè L ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå óïîðÿäî÷åí-
íûå íàáîðû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïî n ÷èñåë, íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷-
íûõ, â êàæäîì íàáîðå. Óïîðÿäî÷åííîñòü íàáîðà îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëà â
íàáîðå çàíóìåðîâàíû. Èìåÿ â âèäó, ÷òî ýëåìåíò x èç          L åñòü íàáîð ÷è-
ñåë x1 , x 2 ,..., x n , áóäåì åãî çàïèñûâàòü â âèäå x = {x1 , x 2 ,..., x n }. Ñ÷è-
òàÿ x ïðîèçâîëüíûì, ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ïðîèçâîëüíûé íàáîð