Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 10 стр.

10                                                            Ãëàâà ïåðâàÿ

     Ïðåæäå âñåãî, âî âñåõ ïðèâåä¸ííûõ ïðèìåðàõ ëèíåéíûå îïåðàöèè
íàä ýëåìåíòàìè äàííîãî ìíîæåñòâà äàþò â ðåçóëüòàòå ýëåìåíòû òîãî æå
ìíîæåñòâà: ñêëàäûâàÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà èëè óìíîæàÿ èõ íà ÷èñëî,
ìû âíîâü ïîëó÷àåì ýëåìåíòû òîãî æå ìíîæåñòâà.
     Ëèíåéíûå îïåðàöèè, ðàçëè÷íûå äëÿ ðàçíûõ ìíîæåñòâ, èìåþò ðÿä
îáùèõ ñâîéñòâ, ÷òî ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ëèíåéíûå îïåðàöèè âîîáùå.
     Èçó÷àÿ ìíîæåñòâà ñ äàííûìè â íèõ ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè, èõ
îáúåäèíÿþò ïîíÿòèåì ëèíåéíîãî (âåêòîðíîãî) ïðîñòðàíñòâà. Íàçâàíèå
ïðîñòðàíñòâà “âåêòîðíîå” ïðîèñòåêàåò èç òîãî, ÷òî ýòî ïîíÿòèå áûëî
âíà÷àëå âûäåëåíî ïðè èçó÷åíèè ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâ-
ëÿþò ñîáîé ïåðâûé ïðèìåð ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ âíóòðåííèì çàêî-
íîì ãåîìåòðè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è âíåøíèì çàêîíîì óìíîæå-
íèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.  ñèëó ýòîãî ýëåìåíòû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ ïðè-
íÿòî íàçûâàòü âåêòîðàìè, à ñàìè ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ÷àñòî íàçûâà-
þò âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè.
     Îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà îáîáùàåò îïðåäåëåíèå ñîâî-
êóïíîñòè âñåõ âåêòîðîâ. Îáîáùåíèå ïðîèçâîäèòñÿ, âî-ïåðâûõ, ïóò¸ì
îòâëå÷åíèÿ îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ñ ñîõðàíåíè-
åì ñâîéñòâ äåéñòâèé íàä íèìè, âî-âòîðûõ, ïóò¸ì îòâëå÷åíèÿ îò êîíêðåò-
íîé ïðèðîäû äîïóñòèìûõ ìíîæèòåëåé.
     Ïóñòü èìååòñÿ ìíîæåñòâî          L , ñîñòîÿùåå èç êàêèõ óãîäíî ýëåìåíòîâ
a ,b ,...; x , y ,... Âìåñòå ñ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà L áóäåì ðàññìàòðèâàòü
äåéñòâèòåëüíûå è êîìïëåêñíûå ÷èñëà      α ,β , γ ,... , îáðàçóþùèå ìíîæåñòâî
(ïîëå) K.
     Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ìíîæåñòâå     L îïðåäåëåíû äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ
è óìíîæåíèÿ, åñëè:
     1) êàæäûì äâóì ýëåìåíòàì       a è b èç L ñîïîñòàâëåí íåêîòîðûé
ýëåìåíò òîãî æå ìíîæåñòâà  L , íàçûâàåìûé èõ ñóììîé. Ñóììà ýëåìåí-
òîâ a è b îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç a + b ;
     2) êàæäîìó ÷èñëó α è êàæäîìó ýëåìåíòó a èç L ñîïîñòàâëåí íå-
êîòîðûé ýëåìåíò èç òîãî æå ìíîæåñòâà L , íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì
α íà a èëè a íà α , êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì êàê αa èëè aα .
     Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûì (âåêòîðíûì) ïðîñòðàíñòâîì L íàä ïîëåì
K , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî L ðàññìàòðèâàåìîå âìåñòå ñ çàäàííûìè â
í¸ì äåéñòâèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäó-
þùèì àêñèîìàì: