Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 9 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                              9




         Ãëàâà I
         Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
       Äàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîíÿòèþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå â
êà÷åñòâå åãî ýëåìåíòîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ èíâàðèàíòíûå âåêòîðû ëþáîé
ïðèðîäû. Êîíêðåòèçèðóÿ ïðèðîäó âåêòîðà (ñì.§1.2.) ìû áóäåì ïîëó÷àòü
êîíêðåòíûå ïðèìåðû ëèíåéíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ.
      Ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ
(âåêòîðîâ) ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ââîäèì â íåãî ìåòðèêó, â ðåçóëü-
òàòå ÷åãî ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâóþùåå (äåéñòâèòåëüíîå èëè êîìïëåêñíîå)
åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.
      Ðàññìîòðåâ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ïåðåõî-
äèì ê ñàìîìó âàæíîìó ïîíÿòèþ âñåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ - ïîíÿòèþ ëè-
íåéíîãî îïåðàòîðà (ïðåîáðàçîâàíèÿ), îïðåäåëèì äåéñòâèÿ íàä îïåðàòî-
ðàìè â çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå è ðàññìîòðèì íàèáîëå âàæíûå äëÿ äàëü-
íåéøèõ ïðèëîæåíèé âèäû îïåðàòîðîâ: ñîïðÿæ¸ííûå, óíèòàðíûå è ýð-
ìèòîâû.

      §1.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî

      Íàì ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðûå ìíîæåñòâà îáúåê-
òîâ, äëÿ êîòîðûõ óñòàíîâëåíû òàê íàçûâàåìûå ëèíåéíûå îïåðàöèè: ñëî-
æåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Ïðèìåðîì òàêîãî ìíîæåñòâà ìîæåò ñëó-
æèòü ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ. Âñêîðå îêàçàëîñü, ÷òî ìíîãèå äðó-
ãèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìíîæåñòâà ïîä÷èíÿþòñÿ ëèíåéíûì îïåðàöèÿì. Òàê,
ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå, ìíîæåñòâî ðåøåíèé
ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ìíîæåñòâî ìíî-
ãî÷ëåíîâ íàä íåêîòîðûì ïîëåì óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì îïåðàöèÿì.
      Ïðè ýòîì íè ñàìè îáúåêòû íå ïîõîæè íà ñâîáîäíûå âåêòîðû, íè
ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ýòèìè îáúåêòàìè íå ïîõîæè íà ëèíåéíûå îïåðà-
öèè íàä âåêòîðàìè. Îäíàêî, âî âñåõ ïðèâåä¸ííûõ ïðèìåðàõ åñòü íå÷òî
îáùåå, ïîçâîëÿþùåå èçó÷àòü ëèíåéíûå îïåðàöèè àáñòðàêòíî, îòâëåêà-
ÿñü îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû îáúåêòîâ.