Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 11 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                              11


       Àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà:

1. Äëÿ ëþáûõ a è b èç       L
       a+b=b+a,                                              (1)
òî åñòü îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ èç    L îáëàäàåò ïåðåñòàíîâî÷íûì
(êîììóòàòèâíûì) ñâîéñòâîì.
2. Äëÿ ëþáûõ     a , b è c èç L
       (a + b ) + c = a + (b + c ) ,                         (2)
òî åñòü îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ èç L îáëàäàåò ñî÷åòàòåëüíûì (àññî-
öèàòèâíûì) ñâîéñòâîì è ïîçâîëÿåò ïèñàòü ñóììó ýëåìåíòîâ áåç ñêîáîê.
3. Â L ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò θ , ÷òî
      a+θ=a                                              (3)
äëÿ ëþáîãî a èç L . Ýëåìåíò θ íàçûâàåòñÿ íóëåâûì.
4. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x èç L ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y èç L òàêîé, ÷òî
      x + y = θ.                                         (4)
     Ýëåìåíò y ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì äëÿ ýëåìåíòà x è îáîçíà-
÷àåòñÿ ÷åðåç − x .
     Äëÿ ëþáûõ a è b èç L è ëþáûõ ÷èñåë α è β
5. 1⋅ a = a                                                  (5)
6. α(β a ) = (αβ)a                                           (6)

7. (α + β )a = αa + βa                                       (7)

8. α(a + b ) = αa + αb                                       (8)

       §1.2. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.

       1. 2.1 Ïðîñòðàíñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ.
     Ïóñòü ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà L ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû. Äâà ýëåìåíòà
èç òàêîãî ìíîæåñòâà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîã-
äà îíè êîëëèíåàðíûå, èìåþò ðàâíûå äëèíû è íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðî-
íó. Òàêèì îáðàçîì, ìû ãîâîðèì î ñâîáîäíûõ âåêòîðàõ, òî÷êà ïðèëîæå-
íèÿ êîòîðûõ ìîæåò âûáèðàòüñÿ ïðîèçâîëüíî.