Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

13Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
{}
n
y,...,y,yy
21
=
. Ýëåìåíòû x è y áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè, åñëè
nn
yx,...,yx,yx
===
2211
.
Ïóñòü
{}
nn
yx,...,yx,yxyx +++=+
2211
, (1.2.1)
{
}
n
x,...,x,xx ααα=α
21
. (1.2.2)
Îïðåäåëèì íóëåâîé ýëåìåíò êàê
{
}
000 ,...,,
=θ
, (1.2.3)
à ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò êàê
{
}
n
x,...,x,xx
−−−=−
21
. (1.2.4)
Ïðè îãîâîð¸ííûõ âûøå óñëîâèÿõ áóäóò âûïîëíåíû âñå âîñåìü àê-
ñèîì è ìíîæåñòâî L áóäåò ÿâëÿòüñÿ äåéñòâèòåëüíûì ëèíåéíûì ïðî-
ñòðàíñòâîì, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êàê
()
nR .
1.2.4. Ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö.
Ïóñòü ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà nm × ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
nm × ìàòðèöó, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîòîðîé èñïîëüçóþò âåðòèêàëüíûå
äâîéíûå ëèíèè èëè êðóãëûå ñêîáêè.
()
ik
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
a
=
=
...
............
...
...
21
22221
11211
. (1.2.5)
Ïóñòü L - ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ nm × ìàòðèö. Äâå ìàò-
ðèöû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç
L
â òîì è òîëüêî òîì ñëó-
÷àå, êîãäà â ýòèõ ìàòðèöàõ ñîîòâåòñòâóþùèå ìåñòà çàíÿòû îäèíàêîâû-
ìè ÷èñëàìè.
Îïðåäåëèì ëèíåéíûå îïåðàöèè â L . Åñëè
()
ik
aa =
,
()
ik
bb
=
-
ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû èç L , à
α
- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî, òî ïîëîæèì
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                                13

y = {y1 , y 2 ,..., y n }. Ýëåìåíòû x è y áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè, åñëè
x1 = y1 , x 2 = y 2 ,..., x n = y n .
      Ïóñòü
      x + y = {x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., xn + y n },                       (1.2.1)

      αx = {αx1 , αx 2 ,..., αxn }.                                        (1.2.2)
      Îïðåäåëèì íóëåâîé ýëåìåíò êàê
     θ = {0,0 ,...,0},                                                     (1.2.3)
à ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò êàê
      − x = {− x1 ,− x2 ,...,− xn }.                                       (1.2.4)
      Ïðè îãîâîð¸ííûõ âûøå óñëîâèÿõ áóäóò âûïîëíåíû âñå âîñåìü àê-
ñèîì è ìíîæåñòâî   L áóäåò ÿâëÿòüñÿ äåéñòâèòåëüíûì ëèíåéíûì ïðî-
ñòðàíñòâîì, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êàê R (n ) .

    1.2.4. Ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö.
    Ïóñòü ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà m × n ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
m × n ìàòðèöó, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîòîðîé èñïîëüçóþò âåðòèêàëüíûå
äâîéíûå ëèíèè èëè êðóãëûå ñêîáêè.

         a11 a12           ... a1n 
                                    
         a21 a22           ... a2 n 
      a=                              = (aik ).                           (1.2.5)
           ...   ...        ... ... 
                                   
          a m1 a m 2       ... amn 

      ÏóñòüL - ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ m × n ìàòðèö. Äâå ìàò-
ðèöû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç L â òîì è òîëüêî òîì ñëó-
÷àå, êîãäà â ýòèõ ìàòðèöàõ ñîîòâåòñòâóþùèå ìåñòà çàíÿòû îäèíàêîâû-
ìè ÷èñëàìè.
      Îïðåäåëèì ëèíåéíûå îïåðàöèè â                L . Åñëè a = (aik ) , b = (bik ) -
ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû èç           L , à α - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî, òî ïîëîæèì

Страницы