Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 15 стр.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà                                                              15

     Ïîëàãàÿ â êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà ôóíêöèþ ðàâíóþ íóëþ âî
âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà[τ1 , τ 2 ], à äëÿ ýëåìåíòà x = ψ (τ ) â êà÷åñòâå ïðîòè-
âîïîëîæíîãî âîçüì¸ì ýëåìåíò − ψ (τ ) . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ

äåéñòâèòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ íà [τ1 , τ 2 ] ôóíêöèé ñ ëèíåéíûìè îïåðà-
öèÿìè (1.2.7) îáðàçóåò äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
     Çàìåòèì, ÷òî åñëè âñå       ψ (τ ) ≤ 1 , òî òàêîå ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé íå îáðàçóåò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå
èç òîãî, ÷òî     ψ (τ ) ≤ 1 è ϕ (τ ) ≤ 1 , íå ñëåäóåò, ÷òî ψ (τ ) + ϕ (τ ) ≤ 1 .

     1.2.6. Ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ.
     Ñîâîêóïíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ            α 0 + α1t + ... + α n −1t n −1 ñòåïåíè < n
ñ êîýôôèöèåíòàìè èç K ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé n - ìåðíîå âåêòîðíîå ïðî-
ñòðàíñòâî.  êà÷åñòâå îñíîâíûõ îïåðàöèé áåðóòñÿ îáû÷íîå ñëîæåíèå ìíî-
ãî÷ëåíîâ è óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ÷èñëî.
     Çàìå÷àíèå: ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n íå îáðàçóåò ëèíåé-
íîãî ïðîñòðàíñòâà, òàê êàê ñóììà äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n ìîæåò
îêàçàòüñÿ ìíîãî÷ëåíîì áîëåå íèçêîé ñòåïåíè.
     Íàïðèìåð:
     (t   n
                 ) (         )
              + t + − t n + t = 2t .

      §1.3. Ýëåìåíòàðíûå ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì ëèíåéíîãî
            ïðîñòðàíñòâà

     Íåçàâèñèìî îò ÷àñòíûõ îñîáåííîñòåé êîíêðåòíûõ ëèíåéíûõ ïðî-
ñòðàíñòâ, èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ:
     1. Â êàæäîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå èìååòñÿ òîëüêî îäèí íóëåâîé
ýëåìåíò (âåêòîð).
     Ïóñòü θ1 è θ 2 íóëåâûå ýëåìåíòû, òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìà-
ìè 1 è 3 ìû ìîæåì íàïèñàòü
     θ 2 = θ2 + θ1 = θ1 + θ2 = θ1 .
     2. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïðîòèâîïîëîæ-
íûé ýëåìåíò (âåêòîð).