Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

18 Ãëàâà ïåðâàÿ
×èñëî n íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òà-
êèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà  ýòî íàèáîëüøåå ÷èñëî åãî ëè-
íåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ.
 ïðîñòðàíñòâå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ñóùåñòâóþò òðè ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ âåêòîðà, à ëþáûå ÷åòûðå âåêòîðà ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâè-
ñèìîñòüþ.
Âñå
n
- ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà
()
,...,,n 210
=
îáðàçóþò êëàññ êîíå÷-
íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì, åñëè äëÿ ëþ-
áîãî öåëîãî ÷èñëà
0>N
â í¸ì íàéä¸òñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà,
ñîñòîÿùàÿ èç N âåêòîðîâ.
Ïðèìåð 1.5.1.
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà äàííîì îòðåçêå ôóíêöèé
(ñì. §1.2., ï.5) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì. Ðàññìîòðèì ñòåïåííûå ôóíê-
öèè
N
,...,,,
τττ
2
1
. Îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òàê êàê ëþáàÿ èõ êîìáèíà-
öèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå N
()
τ=τα++τα+τα+α
P...
N
N
2
210
.
Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè èìååò
ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé, ïîýòîìó
()
0
≡τ
P òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà 0
10
=α==α=α
N
...
.
Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ýëåìåíòû
N
,...,,,
τττ
2
1
íåçàâèñèìû è òàê êàê íà ÷èñëî N íåò íèêàêèõ îãðàíè÷å-
íèé ðàññìàòðèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íîìåðíî.
Ñèñòåìà âåêòîðîâ
n
e,...,e,e
21
â ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ áàçè-
ñîì, åñëè:
1) âåêòîðû
n
e,...,e,e
21
ëèíåéíî íåçàâèñèìû;
2) ëþáîé âåêòîð x èç L åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
n
e,...,e,e
21
,
òî åñòü
n
n
exexexx
+++= ...
2
2
1
1
. (1.5.1)
Ðàâåíñòâî (1.5.1) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà x ïî áàçèñó
18                                                                 Ãëàâà ïåðâàÿ

     ×èñëî n íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òà-
êèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà – ýòî íàèáîëüøåå ÷èñëî åãî ëè-
íåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ.
      ïðîñòðàíñòâå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ñóùåñòâóþò òðè ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ âåêòîðà, à ëþáûå ÷åòûðå âåêòîðà ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâè-
ñèìîñòüþ.
    Âñå n - ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà (n = 0 ,1,2 ,...) îáðàçóþò êëàññ êîíå÷-
íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ.
    Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì, åñëè äëÿ ëþ-
áîãî öåëîãî ÷èñëà N > 0 â í¸ì íàéä¸òñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà,
ñîñòîÿùàÿ èç N âåêòîðîâ.
      Ïðèìåð 1.5.1.
      Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà äàííîì îòðåçêå ôóíêöèé
(ñì. §1.2., ï.5) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì. Ðàññìîòðèì ñòåïåííûå ôóíê-
öèè 1, τ , τ
           ,..., τ N . Îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òàê êàê ëþáàÿ èõ êîìáèíà-
               2


öèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå N
        α 0 + α1τ + α 2 τ 2 + ... + α N τ N = P (τ ) .
      Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè èìååò
ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé, ïîýòîìó              P (τ ) ≡ 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà    α0 = α1 = ... = α N = 0 .
      Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ýëåìåíòû
1, τ , τ 2 ,..., τ N íåçàâèñèìû è òàê êàê íà ÷èñëî N íåò íèêàêèõ îãðàíè÷å-
íèé ðàññìàòðèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íîìåðíî.

      Ñèñòåìà âåêòîðîâ        e1 , e2 ,..., en â ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ áàçè-
ñîì, åñëè:
      1) âåêòîðû     e1 , e2 ,..., en ëèíåéíî íåçàâèñèìû;
      2) ëþáîé âåêòîð       x èç L åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ e1 , e2 ,..., en ,
òî åñòü
        x = x1e1 + x 2 e2 + ... + x n en .                              (1.5.1)
      Ðàâåíñòâî (1.5.1) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà              x ïî áàçèñó

Страницы