Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 22 стр.

22                                                        Ãëàâà ïåðâàÿ

     2) ðàçíûå âåêòîðû èç L èìåþò ðàçíûå îáðàçû èç L′ ;
     3) îáðàçû ýëåìåíòîâ èç L çàïîëíÿþò âñ¸ ïðîñòðàíñòâî L′ .
     Ïðîñòðàíñòâà L è L′ íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî èçîìîðôíûìè, åñëè ìåæ-
äó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ñ ñîáëþ-
äåíèåì ñëåäóþùèõ óñëîâèé:

     (a + b )′ = a ′ + b′ ,                                    (1.6.1)

     (αa )′ = αa ′ .                                           (1.6.2)
     Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì
(1.6.1) è (1.6.2), íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ L è L′ .
      Ïðè ëèíåéíîì èçîìîðôèçìå îáðàç ñóììû ðàâåí ñóììå îáðàçîâ, à îá-
ðàç ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îáðàçà íà ýòî æå
÷èñëî. Àëãåáðàè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíî èçîìîðôíûõ
ïðîñòðàíñòâ òîæäåñòâåííû.

     Òåîðåìà 1.6.1. Äëÿ êàæäîãî n âñå äåéñòâèòåëüíûå (êîìïëåêñíûå)
n -ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíî èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé.
     Òåîðåìà 1.6.2. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî èçîìîðôíîå n -ìåðíîìó,
ñàìî ÿâëÿåòñÿ n -ìåðíûì.

     Ñëåäñòâèå 1.. Êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé
íå èçîìîðôíû.
     Ñëåäñòâèå 2. Áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íåèçîìîðôíî íèêà-
êîìó êîíå÷íîìåðíîìó.


      §1.7. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êîìïëåêñíûìè è
            äåéñòâèòåëüíûìè ïðîñòðàíñòâàìè

     Ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîé
ïðÿìîé, îáðàçóþò îäíîìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, òàê êàê,
óìíîæàÿ íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðîèçâîëüíûé íåíóëåâîé âåêòîð, åãî
ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ëþáîé äðóãîé êîëëèíåàðíûé åìó âåêòîð.
     Ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ðàñïîëîæåííûõ íà ïëîñêî-
ñòè îáðàçóåò äâóìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Îäíàêî, çäåñü ìû
íå ìîæåì ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ ïðåîáðàçîâûâàòü ôèêñèðîâàííûé âåê-
òîð â ëþáîé äðóãîé, òàê êàê çàïàñ äåéñòâèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé ìàë, ïî