Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

26 Ãëàâà ïåðâàÿ
íûõ âåêòîðîâ.
Åñëè ïðàâûå ÷àñòè òàáëèöû (1.9.7) çàäàíû, òî òåì ñàìûì îäíîçíà÷-
íî îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ
y,x
ñî-
ãëàñíî (1.9.6).
Âåêòîðû
y,x
íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè
()
0
=
y,x èëè 0=
ki
ik
yxg
. (1.9.8)
Íîðìîé (äëèíîé) âåêòîðà x èç
L
íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñëî
()
x,xx
=
. (1.9.9)
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
()
y,x ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì,
íî îíî ìîæåò íå áûòü ïîëîæèòåëüíûì, òàê ÷òî íîðìà âåêòîðà ìîæåò
îêàçàòüñÿ ìíèìîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàäèêàë â ôîðìóëå (1.9.9) ìîæåò
áûòü íåîòðèöàòåëüíûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, ëèáî ìíèìûì ÷èñëîì ñ
ïîëîæèòåëüíûì ìíîæèòåëåì ïðè i
( )
1
−+=
i
.
Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ñëåäóåò, ÷òî
xx ⋅=
αα
(1.9.10)
äëÿ ëþáîãî Lx ∈ è ëþáîãî α .  ÷àñòíîñòè,
xx =− , 0=
θ
. (1.9.11)
Íåíóëåâûå âåêòîðû, íîðìà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, íàçûâàþòñÿ èçîò-
ðîïíûìè. Èçîòðîïíûå âåêòîðû ñóùåñòâóþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
()
x,x íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé.
Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
()
yxx ,
2
=
íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîé ôîðìîé
ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà.
Çàäàíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è çàäàíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ðàâíîçíà÷íû, ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâà ñ çàäàííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäå-
íèåì íàçûâàþò òàêæå ïðîñòðàíñòâàìè ñ êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêîé.
Ìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà äëÿ n - ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà èìååò âèä
()
ki
ik
yxgyxx ==
,
2
. (1.9.12)
Åñëè â n - ìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíà ðàç è íàâñåãäà
ôèêñèðîâàííàÿ áèëèíåéíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ âåêòîðíûõ àðãóìåí-
òîâ
x
è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ñèììåòðèè è íåâûðîæäåííîñòè,
26                                                                 Ãëàâà ïåðâàÿ
íûõ âåêòîðîâ.
     Åñëè ïðàâûå ÷àñòè òàáëèöû (1.9.7) çàäàíû, òî òåì ñàìûì îäíîçíà÷-
íî îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ x , y ñî-
ãëàñíî (1.9.6).
     Âåêòîðû x , y íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè

     (x , y ) = 0 èëè g ik x i y k   = 0.                             (1.9.8)
     Íîðìîé (äëèíîé) âåêòîðà             x èç L íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñëî
      x =     (x , x ) .                                              (1.9.9)

     Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x , y ) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì,
íî îíî ìîæåò íå áûòü ïîëîæèòåëüíûì, òàê ÷òî íîðìà âåêòîðà ìîæåò
îêàçàòüñÿ ìíèìîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàäèêàë â ôîðìóëå (1.9.9) ìîæåò
áûòü íåîòðèöàòåëüíûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, ëèáî ìíèìûì ÷èñëîì ñ
ïîëîæèòåëüíûì ìíîæèòåëåì ïðè i i = +          (         )
                                                     −1 .
    Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ñëåäóåò, ÷òî
     αx = α ⋅ x                                                       (1.9.10)

äëÿ ëþáîãî   x ∈ L è ëþáîãî α .  ÷àñòíîñòè,
     − x = x , θ = 0.                                                 (1.9.11)
     Íåíóëåâûå âåêòîðû, íîðìà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, íàçûâàþòñÿ èçîò-
ðîïíûìè. Èçîòðîïíûå âåêòîðû ñóùåñòâóþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà         (x , x ) íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé.
                                 x = (x, y ) íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîé ôîðìîé
                                     2
     Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà.
     Çàäàíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è çàäàíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ðàâíîçíà÷íû, ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâà ñ çàäàííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäå-
íèåì íàçûâàþò òàêæå ïðîñòðàíñòâàìè ñ êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêîé.
     Ìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà äëÿ n - ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà èìååò âèä

     x = (x, y ) = g ik x i y k .
       2
                                                                      (1.9.12)
     Åñëè â n - ìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíà ðàç è íàâñåãäà
ôèêñèðîâàííàÿ áèëèíåéíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ âåêòîðíûõ àðãóìåí-
òîâ x è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ñèììåòðèè è íåâûðîæäåííîñòè,

Страницы