Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 28 стр.

28                                                                 Ãëàâà ïåðâàÿ

                                           1                   1

     (e2 , e1 ) = (t + α ⋅1,1) = ∫ (t + α )dt = 1 t 2 + αt = 2α = 0 ,
                                 −1
                                                2         −1

îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî          α = 0 è e2 = t .
     Âåêòîð    e3 áóäåì èñêàòü â âèäå: e3 = t 2 + βt + γ ⋅1 .
     Òîãäà


                               ∫ (t ⋅ t )dt
                               1
                                       2


     β =−
             ( f 3 , e2 ) = − −1                 =−
                                                      0
                                                        = 0,
             (e2 , e2 )        1
                                                      2
                                  ∫ (t ⋅ t )dt
                                  −1
                                                      3



                             ∫ (t ⋅1)dt
                              1
                                       2           2
     γ =−
             ( f 3 , e1 ) = − −1                       1
                                                 =−3 =− .
             (e1 , e1 )        1
                                                   2   3
                              ∫ (1⋅1)dt
                              −1

     Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
                  1
     e3 = t 2 −     .
                  3
      Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü
ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ìû ïîëó÷èì, ÷òî
               3              6      3
     e4 = t 3 − t è e5 = t 4 − t 2 + .
               5              7     35
     Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ïðèâîäèò íàñ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåê-
òîðîâ (ìíîãî÷ëåíîâ)
                 1       3
     1, t , t 2 − , t 3 − t ,...                                        (1.9.15)
                 3       5
     Îêàçàëîñü, ÷òî ìíîãî÷ëåíû (1.9.15) ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâûõ ìíî-
æèòåëåé ñîâïàäàþò ñ ìíîãî÷ëåíàìè, ââåäåíûìè â 1875 ãîäó ôðàíöóçñ-
êèì ìàòåìàòèêîì Ëåæàíäðîì, â ñâÿçè ñ çàäà÷àìè òåîðèè ïîòåíöèàëà.