Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

54 Ãëàâà âòîðàÿ
n
n
n
n
xyxyxyxyxyxy
′
′
′
′
′
′
+++=+++
......
2
2
1
1
2
2
1
1
.
Åñëè ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ðàâíà íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð x
èç
()
nC è êîâåêòîð y
~
èç
()
nC
~
íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè. Ïðÿìàÿ èç
()
nC
îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü â
()
nC
~
, òî åñòü ïëîñêîñòü, ñîñòîÿùóþ èç êîâåêòî-
ðîâ â èíâîëþöèè ñ äàííîé ïðÿìîé è íàîáîðîò. Äóàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îá-
ðàòèìûì ñîîòíîøåíèåì.
§2.2. Äóàëüíûå áàçèñû
Ïóñòü
n
eee
,...,,
21
îðòîíîðìèðîâàííûé
1
áàçèñ â
()
nC . Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íî îïðåäåë¸ííûé áàçèñîì
n
eee
,...,,
21
áàçèñ
n
eee
~
,...,
~
,
~
21
â
()
nC
~
òàêîé, ÷òî
k
ii
k
ee
~
δ= (2.2.1)
è
()
k
k
ee
~
ϕ=
, (2.2.2)
ãäå
ϕ
- àíòèèçîìîðôèçì, ñëóæàùèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ äóàëüíîñòè ïðî-
ñòðàíñòâ.
Áàçèñû
n
eee
,...,,
21
è
n
eee
~
,...,
~
,
~
21
íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè. Äîãî-
âîðèìñÿ íóìåðîâàòü êîîðäèíàòû êîâåêòîðîâ âåðõíèìè èíäåêñàìè, à êî-
îðäèíàòû âåêòîðîâ  íèæíèìè:
∑
=
==
n
i
i
i
i
i
e
~
xe
~
xx
~
1
. (2.2.3)
Äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà y è êîâåêòîðà
x
~
, ðàçëî-
æåííûõ ïî äóàëüíûì áàçèñàì, ïîëó÷èì:
i
i
yxyx
~
= . (2.2.4)
1
Òàê êàê ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû, òî ñëîâî
«îðòîíîðìèðîâàííûé» â äàëüíåéøåì îïóñêàåòñÿ.
54                                                                             Ãëàâà âòîðàÿ

        y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n = y1′ x 1′ + y 2′ x 2′ + ... + y n′ x n′ .
     Åñëè ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ðàâíà íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð   x
èç C (n ) è êîâåêòîð y èç C (n ) íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè. Ïðÿìàÿ èç C (n )
                     ~    ~

îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü â C (n ) , òî åñòü ïëîñêîñòü, ñîñòîÿùóþ èç êîâåêòî-
                        ~
ðîâ â èíâîëþöèè ñ äàííîé ïðÿìîé è íàîáîðîò. Äóàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îá-
ðàòèìûì ñîîòíîøåíèåì.


        §2.2. Äóàëüíûå áàçèñû

     Ïóñòü       e1 , e2 ,..., en îðòîíîðìèðîâàííûé1 áàçèñ â C (n ) . Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íî îïðåäåë¸ííûé áàçèñîì                          e1 , e2 ,..., en
                       e n â C (n ) òàêîé, ÷òî
        ~                    ~
áàçèñ   e 1, ~
             e 2 ,..., ~
        ~
        e k ei = δ ik                                                                     (2.2.1)
è
     e k = ϕ(ek ),
     ~                                                    (2.2.2)
ãäå ϕ - àíòèèçîìîðôèçì, ñëóæàùèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ äóàëüíîñòè ïðî-
ñòðàíñòâ.
    Áàçèñû e1 , e 2 ,..., en è ~
                               e ,~
                                  e ,..., ~
                                        1    2        n
                                          e íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè. Äîãî-
âîðèìñÿ íóìåðîâàòü êîîðäèíàòû êîâåêòîðîâ âåðõíèìè èíäåêñàìè, à êî-
îðäèíàòû âåêòîðî⠖ íèæíèìè:
                         n
        ~      e i = ∑ xi ~
        x = xi ~          ei .                                                            (2.2.3)
                        i =1

    Äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà                       y è êîâåêòîðà ~
                                                                            x , ðàçëî-
æåííûõ ïî äóàëüíûì áàçèñàì, ïîëó÷èì:
         ~
         x y = xi y i .                                                                   (2.2.4)


1
 Òàê êàê ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû, òî ñëîâî
«îðòîíîðìèðîâàííûé» â äàëüíåéøåì îïóñêàåòñÿ.

Страницы