Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

57Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
òî åñòü, ÷òîáû ñëîæèòü âåêòîðû, íàäî ñëîæèòü èõ êîìïîíåíòû â êàæäîì
()
i
nC
;
ss
x...xx...x
λ⊕⊕λ=
⊕⊕λ
11
, (2.4.3)
òî åñòü, ÷òîáû óìíîæèòü âåêòîð íà ÷èñëî
λ
, íàäî óìíîæèòü íà ýòî ÷èñ-
ëî âñå åãî êîìïîíåíòû;
() ()
s
nC
ss
nC
ss
yx...yxy...yx...x
++
=
⊕⊕⊕⊕
1
1111
, (2.4.4)
òî åñòü, ÷òîáû ïåðåìíîæèòü âåêòîðû, íàäî ñêàëÿðíî ïåðåìíîæèòü èõ
ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû è ñëîæèòü ïîëó÷åííûå ÷èñëà.
Âûðàæåíèÿ (2.4.2)  (2.4.4) ïîêàçûâàþò, ÷òî äåéñòâèÿ íàä âåêòî-
ðàìè â
C
ïîëíîñòüþ ñâîäÿòñÿ ê äåéñòâèÿì íàä èõ êîìïîíåíòàìè â ñîîò-
âåòñòâóþùèõ ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ
()
i
nC
.
C
íàçûâàåòñÿ îðòîãî-
íàëüíîé ñóììîé ïðîñòðàíñòâ
()() ()
s
nC,...,nC,nC
21
.
Îðòîãîíàëüíûå ñóììû ïðîñòðàíñòâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ äâóõ
òî÷åê: ìîæíî ñíà÷àëà çàäàâàòü ïðîñòðàíñòâà
()() ()
s
nC,...,nC,nC
21
íå-
çàâèñèìî äðóã îò äðóãà è ñòðîèòü èç íèõ ïðîñòðàíñòâî
C
ñ ïîìîùüþ
ôîðìàëüíûõ ñóìì (2.4.1), ëèáî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå
()
i
nC
óæå ëåæàò â íåêî-
òîðîì ïðîñòðàíñòâå
C
, è ñòðîèòü ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ
C
íà ñëàãàå-
ìûå, ëåæàùèå â
()
i
nC
, s,...,,i 21= .
Íàéä¸ì áàçèñ è ïîäñ÷èòàåì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà
C
. Äëÿ
ýòîãî â êàæäîì
()
i
nC
ïîñòðîèì áàçèñ
i
n
ii
e,...,e
1
; òîãäà âåêòîðû
s
n
ss
n
e,...,e,...,e,...,e
1
1
1
1
1
(2.4.5)
ñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
C
, à åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà ñóììå ðàç-
ìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ
()
i
nC
, òî åñòü
()
s
n...nCC ++=
1
. (2.4.6)
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè                                                57

òî åñòü, ÷òîáû ñëîæèòü âåêòîðû, íàäî ñëîæèòü èõ êîìïîíåíòû â êàæäîì                    C (ni );

     λ  x ⊕ ... ⊕ x  = λ x⊕ ... ⊕ λ x ,
          1         s        1          s
                                                                                        (2.4.3)
                      
òî åñòü, ÷òîáû óìíîæèòü âåêòîð íà ÷èñëî λ , íàäî óìíîæèòü íà ýòî ÷èñ-
ëî âñå åãî êîìïîíåíòû;

     1          s 1         s
                                1 1               s s
      x ⊕ ... ⊕ x y ⊕ ... ⊕ y  =  x y    + ... +  x y      ,                      (2.4.4)
                                 C (n1 )           C (ns )
òî åñòü, ÷òîáû ïåðåìíîæèòü âåêòîðû, íàäî ñêàëÿðíî ïåðåìíîæèòü èõ
ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû è ñëîæèòü ïîëó÷åííûå ÷èñëà.
     Âûðàæåíèÿ (2.4.2) – (2.4.4) ïîêàçûâàþò, ÷òî äåéñòâèÿ íàä âåêòî-
ðàìè â C ïîëíîñòüþ ñâîäÿòñÿ ê äåéñòâèÿì íàä èõ êîìïîíåíòàìè â ñîîò-
âåòñòâóþùèõ ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ                       C (ni ) . C íàçûâàåòñÿ îðòîãî-
íàëüíîé ñóììîé ïðîñòðàíñòâ               C (n1 ),C (n2 ),...,C (n s ) .
     Îðòîãîíàëüíûå ñóììû ïðîñòðàíñòâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ äâóõ
òî÷åê: ìîæíî ñíà÷àëà çàäàâàòü ïðîñòðàíñòâà                    C (n1 ),C (n 2 ),..., C (n s ) íå-
çàâèñèìî äðóã îò äðóãà è ñòðîèòü èç íèõ ïðîñòðàíñòâî C ñ ïîìîùüþ
ôîðìàëüíûõ ñóìì (2.4.1), ëèáî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå                    C (ni ) óæå ëåæàò â íåêî-
òîðîì ïðîñòðàíñòâå C , è ñòðîèòü ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ C íà ñëàãàå-
ìûå, ëåæàùèå â        C (ni ) , i = 1,2 ,..., s .
     Íàéä¸ì áàçèñ è ïîäñ÷èòàåì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà C . Äëÿ

                     C (ni ) ïîñòðîèì áàçèñ e1 ,..., e ni ; òîãäà âåêòîðû
                                                      i       i
ýòîãî â êàæäîì
      1       1          s        s
     e1 ,..., e n1 ,..., e1 ,..., e ns                                                  (2.4.5)
ñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà C , à åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà ñóììå ðàç-
ìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ             C (ni ) , òî åñòü
     C = C (n1 + ... + n s ) .                                                          (2.4.6)

Страницы