Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

83Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì
òîðîãî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà U â
()
nC :
ii
eeU
=
′
. (3.4.4)
Òîãäà
j
j
ii
eUe
′
= . (3.4.5)
 ñèëó (2.3.2), (2.3.4)
()
j
k
j
k
e
~
Ue
~
′
=
−
1
. (3.4.6)
Ïîäñòàâëÿÿ (3.4.5) è (3.4.6) â (3.2.1), ïîëó÷èì:
()()
q
p
q
q
p
p
q
p
...
...
...
...
U...UU...U
ββ
αα
δ
β
−
δ
β
−
α
γ
α
γ
δδ
γγ
Ψ
′
=Ψ
1
1
1
1
1
1
1
1
11
. (3.4.7)
Ïîäñòàâëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü (3.4.7) â (3.4.1) è ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåí-
òû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ áàçèñíûõ âåêòîðàõ íàéä¸ì âûðàæåíèÿ «íîâûõ»
êîîðäèíàò òåíçîðà
()
q,pT ÷åðåç «ñòàðûå»:
()()
p
q
q
q
p
p
p
q
...
...
...
...
TU...UU...UT
γγ
δδ
δ
β
−
δ
β
−
α
γ
α
γ
αα
ββ
=
′
1
1
1
1
1
1
1
1
11
. (3.4.8)
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå èìååò ôîðìàëüíîå ñõîäñòâî ñ (3.3.9), íî
ñìûñë ôîðìóë ñîâåðøåííî ðàçëè÷åí: (3.3.9) âûðàæàåò êîîðäèíàòû òåí-
çîðà
T
′
÷åðåç êîîðäèíàòû â òîì æå áàçèñå äðóãîãî òåíçîðà
T
, èç êîòî-
ðîãî
T
′
ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèåì îïåðàòîðà U
)
, òîãäà êàê (3.4.8) âûðàæàåò
êîîðäèíàòû òåíçîðà T â íîâîì áàçèñå ÷åðåç êîîðäèíàòû òîãî æå òåí-
çîðà â ñòàðîì áàçèñå ïðîñòðàíñòâà
()
q,pC .
Ïóñòü òåïåðü êàæäîìó áàçèñó â
()
nC ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå
íåêîòîðàÿ ñèñòåìà èç
qp
n
+
÷èñåë
p
q
...
...
T
αα
ββ
1
1
, ïðè÷¸ì çàêîí ñîîòâåòñòâèÿ
òàêîâ, ÷òî ñèñòåìû ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì áàçèñàì, ñâÿçàíû
ñîîòíîøåíèåì (3.4.8).
Òîãäà ñóùåñòâóåò îäèí, è òîëüêî îäèí, òåíçîð
()
q,pT èç ïðîñòðàí-
ñòâà
()
q,pC , èìåþùèé â êàæäîì áàçèñå êîîðäèíàòû, ðàâíûå çàäàííûì
÷èñëàì
p
q
...
...
T
αα
ββ
1
1
. Ïîýòîìó ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü òåíçîð êàê çàêîí
Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                                    83

òîðîãî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà                       U â C (n ) :
       Uei′ = ei .                                                                  (3.4.4)
Òîãäà
       ei = U i j e′j .                                                             (3.4.5)
 ñèëó (2.3.2), (2.3.4)

       e k = (U −1 )j ~
       ~              e′j .
                    k
                                                                                    (3.4.6)
       Ïîäñòàâëÿÿ (3.4.5) è (3.4.6) â (3.2.1), ïîëó÷èì:

       Ψγ11...γ pq = U γα11 ...U γ pp (U −1 )β1 ...(U −1 )βq Ψα′1 ...1 α pq .
        δ ...δ                   α                δ             δ
                                                                β ...β
                                                                                    (3.4.7)
                                              1            q



     Ïîäñòàâëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü (3.4.7) â (3.4.1) è ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåí-
òû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ áàçèñíûõ âåêòîðàõ íàéä¸ì âûðàæåíèÿ «íîâûõ»
êîîðäèíàò òåíçîðà                T ( p , q ) ÷åðåç «ñòàðûå»:

                         = U γα11 ...U γ pp (U −1 )β1 ...(U −1 )βq Tδ11...δqp .
            α ...α p                    α          δ1            δq    γ ...γ
       Tβ′1 ...1β q                                                                 (3.4.8)
    Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå èìååò ôîðìàëüíîå ñõîäñòâî ñ (3.3.9), íî
ñìûñë ôîðìóë ñîâåðøåííî ðàçëè÷åí: (3.3.9) âûðàæàåò êîîðäèíàòû òåí-
çîðà T ′ ÷åðåç êîîðäèíàòû â òîì æå áàçèñå äðóãîãî òåíçîðà T , èç êîòî-
                                            )
ðîãî T ′ ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèåì îïåðàòîðà U , òîãäà êàê (3.4.8) âûðàæàåò
êîîðäèíàòû òåíçîðà T â íîâîì áàçèñå ÷åðåç êîîðäèíàòû òîãî æå òåí-
çîðà â ñòàðîì áàçèñå ïðîñòðàíñòâà C ( p , q ) .

       Ïóñòü òåïåðü êàæäîìó áàçèñó â                         C (n ) ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå
                                                            α ...α
íåêîòîðàÿ ñèñòåìà èç                   n p + q ÷èñåë Tβ1 ...1 βq p , ïðè÷¸ì çàêîí ñîîòâåòñòâèÿ
òàêîâ, ÷òî ñèñòåìû ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì áàçèñàì, ñâÿçàíû
ñîîòíîøåíèåì (3.4.8).
       Òîãäà ñóùåñòâóåò îäèí, è òîëüêî îäèí, òåíçîð T ( p , q ) èç ïðîñòðàí-

ñòâà   C ( p , q ) , èìåþùèé â êàæäîì áàçèñå êîîðäèíàòû, ðàâíûå çàäàííûì
                α ...α
÷èñëàì      Tβ1 ...1 βq p . Ïîýòîìó ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü òåíçîð êàê çàêîí

Страницы