Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

85Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì
áû îïðåäåëèòü òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíóþ ôóíêöèþ âèäà (3.5.2). Îäíàêî
ïðèíÿòîå â íà÷àëå ýòîé ãëàâû îïðåäåëåíèå èìååò òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî
ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü àëãåáðàè÷åñêèå íàâûêè ðàáîòû ñ ïðîèçâåäåíè-
ÿìè è ñóììàìè.
Êðîìå òîãî, ôîðìóëû âèäà (3.1.2) ïîçâîëÿþò îñîáåííî íàãëÿäíî
îïèñàòü ïðè¸ì ñîñòàâëåíèÿ ñëîæíûõ ÷àñòèö èç áîëåå ïðîñòûõ.
§3.6. Óìíîæåíèå è ñâ¸ðòûâàíèå òåíçîðîâ
Ðàññìîòðèì îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè, ìåíÿþùèå èõ âàëåíòíîñòü.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíû òåíçîðû
()
q,pT è
()
s,rT :
()
()
⊗⊗⊗⊗⊗=
⊗⊗⊗⊗⊗=
∑
∑
,y
~
...y
~
y...ys,rT
,x
~
...x
~
x...xq,pT
k
k
s
k
k
r
k
j
j
q
j
j
p
j
1
1
1
1
(3.6.1)
ãäå
j
i
x
è
k
i
y
- âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà
()
nC , à
j
i
x
~
è
k
i
y
~
- êîâåêòîðû äó-
àëüíîãî ïðîñòðàíñòâà
()
nC
~
. Ïîñòàâèì ýòèì òåíçîðàì â ñîîòâåòñòâèå
òåíçîð
()
sq,rpT
++
, íàçûâàåìûé èõ ïðîèçâåäåíèåì:
()()()
=⊗=++
s,rTq,pTsq,rpT
k
s
k
k,j
q
j
j
r
k
k
j
p
j
y
~
...y
~
x
~
...x
~
y...yx...x
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=
∑
1
1
11
.
(3.6.2)
Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëîæåíèÿ òåíçîðîâ è óìíîæåíèÿ èõ íà
÷èñëî, êîòîðûå ïðîèçâîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå òåíçîðîâ
äàííîé âàëåíòíîñòè, óìíîæåíèå òåíçîðîâ åñòü îïåðàöèÿ íàä òåíçîðàìè
èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ.
()()
q,pCq,pT
∈
,
() ()
s,rCs,rT
∈
, à èõ ïðî-
èçâåäåíèå
()()
sq,rpCsq,rpT
++∈++
. Îòìåòèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ
() ()
s,rTq,pT
⊗
è
() ( )
q,pTs,rT
⊗
èìåþò îäè-
Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                                         85

áû îïðåäåëèòü òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíóþ ôóíêöèþ âèäà (3.5.2). Îäíàêî
ïðèíÿòîå â íà÷àëå ýòîé ãëàâû îïðåäåëåíèå èìååò òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî
ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü àëãåáðàè÷åñêèå íàâûêè ðàáîòû ñ ïðîèçâåäåíè-
ÿìè è ñóììàìè.
     Êðîìå òîãî, ôîðìóëû âèäà (3.1.2) ïîçâîëÿþò îñîáåííî íàãëÿäíî
îïèñàòü ïðè¸ì ñîñòàâëåíèÿ ñëîæíûõ ÷àñòèö èç áîëåå ïðîñòûõ.


        §3.6. Óìíîæåíèå è ñâ¸ðòûâàíèå òåíçîðîâ

        Ðàññìîòðèì îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè, ìåíÿþùèå èõ âàëåíòíîñòü.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíû òåíçîðû                         T ( p , q ) è T (r , s ) :

                                                       j 
                                     p
        T ( p , q ) = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ ~
                           1
                                          x ⊗ ... ⊗ ~
                                              j
                                                    x ,
                        j
                                           1        q
                                                         
                                                                                        (3.6.1)
        T (r , s ) = ∑ y k ⊗ ... ⊗ y k ⊗ y ⊗ ... ⊗ y ,
                          1         r
                                         ~   k      ~ k 

                      k                   1         s    

                  y k - âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C (n ) , à ~
    i             i
                                                        x è ~
                                                          j   k
ãäå x j è                                                   y - êîâåêòîðû äó-
                                                                     i       i

àëüíîãî ïðîñòðàíñòâà C (n ) . Ïîñòàâèì ýòèì òåíçîðàì â ñîîòâåòñòâèå
                     ~

òåíçîð    T ( p + r , q + s ) , íàçûâàåìûé èõ ïðîèçâåäåíèåì:
        T ( p + r , q + s ) = T ( p , q ) ⊗ T (r , s ) =
                      1          p        1             r
        = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ y k ⊗ ... ⊗ yk ⊗ ~
                                               x ⊗ ... ⊗ ~
                                                         xj⊗~
                                                            y k ⊗ ... ⊗ ~
                                                 j                        k
                                                                        y .
                                                             1              q       1          s
           j ,k

                                                           (3.6.2)
     Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëîæåíèÿ òåíçîðîâ è óìíîæåíèÿ èõ íà
÷èñëî, êîòîðûå ïðîèçâîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå òåíçîðîâ
äàííîé âàëåíòíîñòè, óìíîæåíèå òåíçîðîâ åñòü îïåðàöèÿ íàä òåíçîðàìè
èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ.                  T ( p , q )∈ C ( p , q ) , T (r , s )∈ C (r , s ) , à èõ ïðî-
èçâåäåíèå             T ( p + r , q + s )∈ C ( p + r , q + s ) . Îòìåòèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ                 T ( p , q ) ⊗ T (r , s ) è T (r , s ) ⊗ T ( p , q ) èìåþò îäè-

Страницы