Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

92 Ãëàâà òðåòüÿ
()
0,pAsym
n
. Ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà
n,p
d
ðàâíà ÷èñëó íåçà-
âèñèìûõ êîîðäèíàò, çàäàþùèõ ïðèíàäëåæàùèé åìó òåíçîð. Òàêèå íà-
áîðû íå äîëæíû ñîäåðæàòü ïîâòîðÿþùèõñÿ ÷èñåë, ïîðÿäîê èíäåêñîâ â
òàêîì íàáîðå ïðè ïîäñ÷¸òå íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò íå ó÷èòûâàåòñÿ:
p
nn,p
Cd
= ,
()
np
≤
. (3.9.2)
Ïðè np > íå ñóùåñòâóåò íåíóëåâûõ àíòèñèììåòðè÷åñêèõ òåí-
çîðîâ
()
0,pT íàä
()
nC .
§3.10. Îïåðàòîðû ñèììåòðèçàöèè
Ïîñòðîåíèå ñèììåòðè÷åñêèõ è àíòèñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ ìîæ-
íî îïèñàòü ãåîìåòðè÷åñêè ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ñèììåòðèçàöèè
∑
=
s
s
!s
1
S
(3.10.1)
è îïåðàòîðà àíòèñèììåòðèçàöèè
()
∑
−=
s
Sgns
s
!s
1
1
A
, (3.10.2)
ãäå Sgns ðàâíà 1 èëè 1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷¸òíà èëè íå÷¸òíà ïîä-
ñòàíîâêà s , à ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ïîäñòàíîâêàì ÷èñåë
()
n,...,,21 .
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû s óíèòàðíû, à îïåðàòîðû
S
è
A - ýðìèòîâû, ïðè ýòîì
SS =
2
, AA =
2
. (3.10.3)
ñîãëàñíî (1.13.12), îïåðàòîðû
S
è
A
ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè ïðîåêòèðîâà-
íèÿ, êîòîðûå ïðîåêòèðóþò ïðîñòðàíñòâî
()
0,pC íà ïîäïðîñòðàíñòâî âñåõ
ñèììåòðè÷åñêèõ (àíòèñèììåòðè÷åñêèõ) òåíçîðîâ. Ïðè ýòîì ñèììåòðè÷åñ-
êèìè áóäóò òåíçîðû èíâàðèàíòíûå ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàòîðó
S
TT =S
, (3.10.4)
à àíòèñèììåòðè÷åñêèìè
TT =A . (3.10.5)
92                                                         Ãëàâà òðåòüÿ

Asymn ( p ,0) . Ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà d p ,n ðàâíà ÷èñëó íåçà-
âèñèìûõ êîîðäèíàò, çàäàþùèõ ïðèíàäëåæàùèé åìó òåíçîð. Òàêèå íà-
áîðû íå äîëæíû ñîäåðæàòü ïîâòîðÿþùèõñÿ ÷èñåë, ïîðÿäîê èíäåêñîâ â
òàêîì íàáîðå ïðè ïîäñ÷¸òå íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò íå ó÷èòûâàåòñÿ:
      d p ,n = Cnp ,   (p ≤ n ).                               (3.9.2)
      Ïðè    p > n íå ñóùåñòâóåò íåíóëåâûõ àíòèñèììåòðè÷åñêèõ òåí-
çîðîâ   T ( p ,0 ) íàä C (n ) .

        §3.10. Îïåðàòîðû ñèììåòðèçàöèè

     Ïîñòðîåíèå ñèììåòðè÷åñêèõ è àíòèñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ ìîæ-
íî îïèñàòü ãåîìåòðè÷åñêè ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ñèììåòðèçàöèè
             1
      S=       ∑s
             s! s
                                                               (3.10.1)

è îïåðàòîðà àíòèñèììåòðèçàöèè

               ∑ (− 1)Sgns s ,
             1
        A=                                                     (3.10.2)
             s! s
ãäå  Sgns ðàâíà 1 èëè –1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷¸òíà èëè íå÷¸òíà ïîä-
ñòàíîâêà s , à ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ïîäñòàíîâêàì ÷èñåë
(1,2 ,...,n ) .
      Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû   s óíèòàðíû, à îïåðàòîðû S è
A - ýðìèòîâû, ïðè ýòîì
     S2 = S ,    A2 = A .                                      (3.10.3)
ñîãëàñíî (1.13.12), îïåðàòîðû S è
                                A ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè ïðîåêòèðîâà-
íèÿ, êîòîðûå ïðîåêòèðóþò ïðîñòðàíñòâî C ( p ,0 ) íà ïîäïðîñòðàíñòâî âñåõ
ñèììåòðè÷åñêèõ (àíòèñèììåòðè÷åñêèõ) òåíçîðîâ. Ïðè ýòîì ñèììåòðè÷åñ-
êèìè áóäóò òåíçîðû èíâàðèàíòíûå ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàòîðó S
     ST = T ,                                                  (3.10.4)
à àíòèñèììåòðè÷åñêèìè
        AT = T .                                               (3.10.5)

Страницы