Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 95 стр.

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà                                                       95

æèò  H è ÷òî åñëè U ∈ H , òî è U −1 ∈ H .
     Ïóñòü äàíà ãðóïïà G è U ∈ G . Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ñòåïå-
íè (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå) ýëåìåíòà U :

      ...,U −2 ,U −1 ,U 0 = E ,U ,U 2 ,U 3 ,... ,
ãäå ÷åðåç E ìû îáîçíà÷èì åäèíè÷íûé ýëåìåíò ãðóïïû G .
     Ýòè ñòåïåíè îáðàçóþò ïîäãðóïïó – öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, ïîðîæ-
ä¸ííóþ ýëåìåíòîì U . Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: ëèáî âñå ñòåïåíè ýëå-
ìåíòà U ðàçëè÷íû, ëèáî ñðåäè íèõ èìåþòñÿ îäèíàêîâûå. Ïðåäïîëî-

æèì, ÷òî U
             m
                 = U l è m > l . Òîãäà U m−l = E . Îáîçíà÷èì ÷åðåç k íàè-
ìåíüøóþ ïîëîæèòåëüíóþ ñòåïåíü, òàêóþ ÷òî            U k = E . Òîãäà, äëÿ òîãî
÷òîáû èìåëî ìåñòî ðàâåíñòâî        U n = E , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî-
áû   n äåëèëîñü íà k . Â ñàìîì äåëå, åñëè n = ks , òî U n = U k( )  s
                                                                        = E.Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, åñëè       U n = E è n = kp + q , 0 ≤ q < k , òî, òàê êàê
U n = U kpU q = U q = E ,à k - íàèìåíüøàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ñòåïåíü, â
êîòîðîé U   = E , q = 0 , è n äåëèòñÿ íà k . Ýëåìåíò U íàçûâàåòñÿ ýëå-
             k

ìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà. Åñëè âñå ñòåïåíè ýëåìåíòà U ðàçëè÷íû, îí íàçû-
âàåòñÿ ýëåìåíòîì áåñêîíå÷íîãî ïîðÿäêà.
     Êàæäàÿ ãðóïïà èìååò ïîäãðóïïó ñîñòîÿùóþ èç åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà
è êàæäàÿ ãðóïïà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñâîåé ïîäãðóïïîé. Ïîäãðóïïà êîììóòà-
òèâíîé ãðóïïû âñåãäà áóäåò êîììóòàòèâíîé.
     Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîäãðóïïû âàæíû â òåîðèè âîçìóùå-
íèé. Êîãäà íà ñèñòåìó, ñèììåòðèÿ êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ãðóïïå G , äåé-
ñòâóåò âîçìóùåíèå, êîòîðîå íå ïîä÷èíÿåòñÿ âñåì ñèììåòðè÷åñêèì îïå-
ðàöèÿì ãðóïïû G , íî ñîõðàíÿåò áîëåå íèçêóþ ñèììåòðèþ, ñîîòâåòñòâó-
þùóþ íåêîé ïîäãðóïïå H ãðóïïû G .
     Âñ¸ ñêàçàííîå âûøå ñïðàâåäëèâî äëÿ ãðóïïû îïåðàòîðîâ â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.