Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

119
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
22
2
rr
Vhr
m
r
L
+
′
−
′
=
′
∂
′
∂
, (*)
()
()
()
()
22
22
2
2
2
rrVh
Vhrrr
r
V
m
r
L
+
′
−
−++
′
∂
∂
−
=
∂
′
∂
,
()
()()
()
()
()
2222
22222
2
2
2
rrVhrr
rrr
r
V
rrrrVh
m
r
L
d
d
+
′
−+
′
+
′′
∂
∂
−
′
−
′′
−
=
′
∂
′
∂
ϕ
.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé â (4.5.50), ïîëó÷èì
()
()
()
022
22222
=−
′
−
′′
−++
′
∂
∂
rrrrVhrrrr
r
V
. (4.5.51)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðà-
åêòîðèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè å¸ äâèæåíèè â öåíòðàëüíîì ïîëå. Îá-
ùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ áóäåò çàâèñåòü îò ïîñòîÿííîé
h
è ïî-
ñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ
1
c è
2
c , òî åñòü
()
21
,,,
cchrr
ϕ
=
. Âîñïîëü-
çóåìñÿ, êàê ìû ýòî óæå äåëàëè ðàíåå, çàìåíîé
u
r
1
= â (4.5.51):
2
u
u
r
′
−=
′
,
3
2
2
u
uuu
r
′
+
′′
−
−
′′
,
u
V
u
r
u
u
V
r
V
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
.
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ â (4.5.51), ïîëó÷èì ñíîâà
óðàâíåíèå Óèòòåêåðà â íîâûõ ïåðåìåííûõ
()
()( )
02
22
=+
′′
−++
′
∂
∂
uuVhuu
u
V
. (4.5.52)
Òåïåðü ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå. Íî ìîæ-
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ                                                                119

     ∂L′       r′ h − V
          = 2m              ,                                                 (*)
     ∂r ′        r ′2 + r 2
                        ∂V 2
     ∂L′
                    −
                        ∂r
                           (r ′ + r 2 ) + 2r (h − V )
         = 2m                                         ,
     ∂r                  2 (h − V )(r ′2 + r 2 )

                                                          ∂V 2 2
                             2(h − V )(r 2 r ′′ − rr ′2 ) −     r ′ (r ′ + r 2 )
      d    ∂L′                                          ∂r
                 = 2m                                                          .
     dϕ    ∂r ′                  2(r ′2 + r 2 )   (h − V )(r ′2 + r 2 )
     Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé â (4.5.50), ïîëó÷èì
     ∂V 2 2
        r (r ′ + r 2 ) + 2r (h − V )(rr ′′ − 2r ′2 − r 2 ) = 0 .              (4.5.51)
     ∂r
     Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðà-
åêòîðèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè å¸ äâèæåíèè â öåíòðàëüíîì ïîëå. Îá-
ùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ áóäåò çàâèñåòü îò ïîñòîÿííîé h è ïî-
ñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ        c1 è c2 , òî åñòü r = r (ϕ , h, c1 , c2 ) . Âîñïîëü-
                                                              1
çóåìñÿ, êàê ìû ýòî óæå äåëàëè ðàíåå, çàìåíîé             r=     â (4.5.51):
                                                              u
              u′         − u ′′u + 2u ′2
     r′ = −      , r ′
                     ′ −                 ,
              u2                u3
     ∂V ∂V ∂u          ∂V
        =       = −u 2    .
     ∂r   ∂u ∂r        ∂u
     Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ â (4.5.51), ïîëó÷èì ñíîâà
óðàâíåíèå Óèòòåêåðà â íîâûõ ïåðåìåííûõ
     ∂V 2
     ∂u
        (u ′ + u 2 ) + 2(h − V )(u ′′ + u ) = 0 .                             (4.5.52)

     Òåïåðü ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå. Íî ìîæ-

Страницы