Математическое программирование (линейное программирование). Киселева Э.В - 10 стр.

    2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ                                 Теорема 2.1. Любой вектор n-мерного векторного про-
                                                                          странства можно представить как линейную комбинацию
               2.1. Основные понятия и теоремы                            векторов базиса, притом единственным образом.
     Основным понятием линейной алгебры является понятие ли-                  Определение 2.6. Максимальное число линейно незави-
нейного векторного пространства.                                          симых векторов линейного пространства называется
     Определение 2.1. Упорядоченная совокупность n дей-                   размерностью линейного пространства.
ствительных чисел называется n-мерным вектором.                               Линейное пространство обычно обозначают R n , где n – его
     Определение 2.2. Совокупность всевозможных n-мерных                  размерность.
векторов после введения в нее операций сложения и ум-                      2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
ножения на действительное число называется n-мерным                                        методом Жордана–Гаусса
линейным векторным пространством.
                                                                               Метод Жордана–Гаусса, или метод последовательного ис-
     Частными случаями линейных пространств являются прямая,
                                                                          ключения неизвестных, является модификацией метода Гаусса
плоскость, трехмерное пространство.
                                                                          решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
     Определение 2.3. Система векторов X 1 ,..., X m называ-              Он также базируется на так называемых элементарных преобра-
ется линейно зависимой, если существуют такие числа                       зованиях (преобразованиях, переводящих систему в эквивалент-
λ1 ,λ2 ,...,λm , не равные нулю одновременно, при которых                 ную), к которым относятся:
имеет место равенство:                                                         1. Прибавление к обеим частям одного уравнения системы
                                                                          другого уравнения той же системы, умноженного на некоторое
                       λ1 X 1 + λ2 X 2 + ... + λm X m = 0.                число, отличное от нуля.
     Если же это равенство возможно лишь в случае, ко-                         2. Перестановка местами уравнений в системе.
гда все λi = 0 (i = 1, m) , то система векторов называется                     3. Удаление из системы уравнений вида 0=0.
                                                                               В отличие от метода Гаусса в методе Жордана–Гаусса на ка-
линейно независимой.                                                      ждой итерации одна из переменных исключается из всех уравне-
     Определение 2.4. Базисом n-мерного векторного прос-                  ний системы, кроме одного (а не только расположенных ниже,
транства называется любая совокупность n линейно не-                      как в методе Гаусса).
зависимых векторов этого пространства.                                         Суть метода состоит в том, что, рассмотрев какое-либо урав-
     В двумерном пространстве за базис могут быть взяты любые             нение системы (например, первое), а в нем неизвестное с коэф-
два неколлинеарных вектора, в частности, e1 = (1,0), e2 = (0 ,1) . В      фициентом, отличным от нуля (этот коэффициент называет-
трехмерном пространстве – любые три некомпланарных вектора,               ся разрешающим элементом), и разделив это уравнение на
                                                                          разрешающий элемент, с помощью первого уравнения исключа-
например, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) .                      ют это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Далее вы-
    Определение 2.5. Вектор        λ1 X 1 + λ2 X 2 + ... + λm X m , где   брав, например, во втором уравнении другое неизвестное с ко-
                                                                          эффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе
λ1 ,λ2 ,...,λm – произвольные вещественные числа, называ-                 уравнение, с помощью второго уравнения исключают другое
ется линейной комбинацией векторов X 1 , X 2 ,..., X m .                  неизвестное из всех уравнений, кроме второго, и т.д., т.е. с по-
                                                                          мощью одного уравнения производят полное исключение одного


                                  21                                                                       22