Составители:
Рубрика:
25 26
Рассмотрим применение метода Жордана–Гаусса на приме-
рах решения СЛАУ.
Пример 2.1. Решить методом Жордана–Гаусса систему
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−
=+
−=−
.1xxx2
,2xxx
,3xx
,2xx
321
321
21
31
Решение. Запишем в таблицу Гаусса расширенную матрицу
системы, и в последний, контрольный столбец поместим суммы
элементов соответствующих строк.
На первом шаге за разрешающий элемент можно выбрать
любой элемент
.0a
ij
≠
Выберем 1
11
=a .
Шаг x
1
x
2
x
3
b
i
∑
Исходная
система
1
1
1
2
0
1
–1
1
–1
0
1
–1
–2
3
2
1
–2
5
3
3
1
1
0
0
0
0
1
–1
1
–1
1
2
1
–2
5
4
5
–2
7
5
7
2
1
0
0
0
0
1
0
0
–1
1
3
0
–2
5
9
0
–2
7
12
0
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
3
2
3
4
Разделим разрешающую строку на разрешающий элемент.
Элементы первой, разрешающей строки в этом случае останутся
без изменения. После исключения неизвестного
1
x
из всех урав-
нений системы (кроме первого уравнения) разрешающий столбец
примет вид:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
0
1
.
Остальные элементы пересчитываем по формуле (2.2). Так,
например,
51))2(131(
/
2
=−⋅−⋅=b ,
21))1(111()(
33
111331113333
=−⋅−⋅=⋅−⋅=
///
a;aaaaaa .
На втором шаге за разрешающий элемент выбран 1
/
22
=a .
Последняя строка, состоящая из нулей, исключена из дальнейше-
го рассмотрения.
На следующем шаге за разрешающий элемент выбран
3
//
33
=a и в результате получена таблица, дающая решение исход-
ной системы. В самом деле, ей соответствует система уравнений:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅
,xxx
,xxx
,xxx
3100
2011
1001
321
321
321
или
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
.x
,x
,x
3
2
1
3
2
1
Ответ. Задача имеет единственное решение:
1
1
=
x , 2
2
=
x , 3
3
=
x .
Пример 2.2. Исследовать и решить систему уравнений:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−+
=−+
=+−
.xxx
,xxxx
,xxx
,xxx
1
325
23
12
421
4321
321
431
Решение.
Шаг x
1
x
2
x
3
x
4
b
i
∑
Исходная
система
2
3
5
1
0
1
1
1
–1
–1
–2
0
1
2
3
1
1
2
3
1
3
5
8
2
1
2
3
2
–2
0
1
0
0
–1
–1
–1
1
1
0
1
–1
1
2
1
–1
3
5
3
–3
2
2
3
0
0
0
1
0
0
–1
–1
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
3
5
0
0
Рассмотрим применение метода Жордана–Гаусса на приме- Остальные элементы пересчитываем по формуле (2.2). Так,
рах решения СЛАУ. например, b2/ = (1 ⋅ 3 − 1 ⋅ (−2)) 1 = 5 ,
Пример 2.1. Решить методом Жордана–Гаусса систему
a33/ = (a33 ⋅ a11 − a31 ⋅ a13 ) a11/ ; a / 33 = (1 ⋅ 1 − 1 ⋅ (−1)) 1 = 2 .
⎧ x1 − x3 = −2 ,
⎪ x + x = 3, На втором шаге за разрешающий элемент выбран a 22 /
= 1.
⎪ 1 2
⎨ Последняя строка, состоящая из нулей, исключена из дальнейше-
⎪ x1 − x2 + x3 = 2 , го рассмотрения.
⎪⎩2 x1 + x2 − x3 = 1. На следующем шаге за разрешающий элемент выбран
//
Решение. Запишем в таблицу Гаусса расширенную матрицу a33 = 3 и в результате получена таблица, дающая решение исход-
системы, и в последний, контрольный столбец поместим суммы ной системы. В самом деле, ей соответствует система уравнений:
элементов соответствующих строк.
На первом шаге за разрешающий элемент можно выбрать ⎧1 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 = 1, ⎧ x1 = 1,
⎪ ⎪
любой элемент aij ≠ 0. Выберем a11 = 1 . ⎨1 ⋅ x1 + 1 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 = 2 , или ⎨ x2 = 2 ,
⎪0 ⋅ x + 0 ⋅ x + 1 ⋅ x = 3 , ⎪ x = 3.
Шаг x1 x2 x3 bi
∑ ⎩ 1 2 3 ⎩ 3
Исходная 1 0 –1 –2 –2 Ответ. Задача имеет единственное решение:
1 1 0 3 5
система
1 –1 1 2 3 x1 = 1 , x 2 = 2 , x3 = 3 .
2 1 –1 1 3 Пример 2.2. Исследовать и решить систему уравнений:
1 1 0 –1 –2 –2
0 1 1 5 7 ⎧2 x1 − x3 + x4 = 1,
0 –1 2 4 5 ⎪3 x + x − x = 2 ,
0 1 1 5 7 ⎪ 1 2 3
2 1 0 –1 –2 –2 ⎨
0 1 1 5 7 ⎪5 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 3,
0 0 3 9 12
0 0 0 0 0 ⎪⎩ x1 + x2 − x4 = 1 .
3 1 0 0 1 2
0 1 0 2 3 Решение.
0 0 1 3 4 Шаг x1 x2 x3 x4 bi
∑
Разделим разрешающую строку на разрешающий элемент. Исходная 2 0 –1 1 1 3
Элементы первой, разрешающей строки в этом случае останутся система 3 1 –1 2 2 5
5 1 –2 3 3 8
без изменения. После исключения неизвестного x1 из всех урав- 1 1 0 1 1 2
нений системы (кроме первого уравнения) разрешающий столбец 1 2 0 –1 1 1 3
примет вид: 3 1 –1 0 2 5
2 0 –1 1 1 3
⎛1 ⎞
⎜ ⎟ –2 0 1 –1 –1 –3
⎜0⎟ . 2 2 0 –1 1 1 3
⎜0⎟ 3 1 –1 0 2 5
⎜ ⎟ 0 0 0 0 0 0
⎜0⎟ 0 0 0 0 0 0
⎝ ⎠
25 26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
