Математическое программирование (линейное программирование). Киселева Э.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

47 48
Далее построим вектор
()
22 −= ,Zgrad .
Так как нас интересует только направление этого вектора,
мы можем взять его произвольной длины.
Перпендикулярно к этому вектору проводим линию уровня
через начало координат и, перемещая ее по области ABCD в на-
правлении антиградиента, получаем точку В, в которой целевая
функция достигает минимума.
Для нахождения координат этой точки решим систему,
со-
ставленную из уравнений граничных прямых АВ и ВС:
⎩
⎨
⎧
=
=+−
.x
,xx
70
302
22
2221
Получим
2070
2122
=
=
x,x .
Координаты
11
x и
12
x найдем из соотношений:
,xx 3050
1111
=−=
.xx 070
2212
=
−=
Итак, искомый оптимальный план
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
7020
030
*
X .
При этом минимальное значение целевой функции
280380702202
min
=
+⋅−⋅
=
Z .
Исходя из условий задачи, можно дать интерпретацию полу-
ченного решения: первый вид оборудования используется для
выпуска продукции А в количестве 30 единиц, продукция В на
первом виде оборудования не производится. На втором виде обо-
рудования производится 20 единиц продукции А и 70 единиц
продукции В. При этом затраты на выпуск продукции будут ми-
нимальными и составят 280 условных единиц.
4.3. Вопросы для самопроверки
1. Запишите основную ЗЛП в общем виде.
2.
Запишите модель ЗЛП в стандартной и канонической
формах. Матричная форма моделей.
3.
Как сводится задача минимизации целевой функции к за-
даче максимизации?
4.
Какова геометрическая интерпретация решения линейных
неравенств с одной, двумя, тремя переменными?
5.
Что называется допустимым решением и ОДР задачи ма-
тематического программирования?
6.
Какова геометрическая интерпретация решения системы
линейных неравенств с двумя переменными?
7.
Постройте линию уровня целевой функции
21
3 xx −
=
Ζ
,
соответствующую значению
.0
=
Ζ
8.
Чем определяется направление скорейшего возрастания
целевой функции? Постройте
Zgrad для функции
21
4 xx −
=
Ζ
.
9.
Что называется оптимальным решением ЗЛП?
10.
Какие случаи возможны при решении ЗЛП?
11.
Как выражается оптимальное решение при наличии аль-
тернативного оптимума? 
    Далее построим вектор grad Z = (2,−2 ) .                                   4.3. Вопросы для самопроверки
    Так как нас интересует только направление этого вектора,        1. Запишите основную ЗЛП в общем виде.
мы можем взять его произвольной длины.                              2. Запишите модель ЗЛП в стандартной и канонической
    Перпендикулярно к этому вектору проводим линию уровня       формах. Матричная форма моделей.
через начало координат и, перемещая ее по области ABCD в на-        3. Как сводится задача минимизации целевой функции к за-
правлении антиградиента, получаем точку В, в которой целевая    даче максимизации?
функция достигает минимума.                                         4. Какова геометрическая интерпретация решения линейных
    Для нахождения координат этой точки решим систему, со-      неравенств с одной, двумя, тремя переменными?
ставленную из уравнений граничных прямых АВ и ВС:                   5. Что называется допустимым решением и ОДР задачи ма-
                         ⎧− 2 x21 + x22 = 30 ,                  тематического программирования?
                         ⎨                                          6. Какова геометрическая интерпретация решения системы
                         ⎩           x22 = 70.                  линейных неравенств с двумя переменными?
Получим x22 = 70 ,   x21 = 20 .                                     7. Постройте линию уровня целевой функции Ζ = 3 x1 − x2 ,
   Координаты x11 и x12 найдем из соотношений:                  соответствующую значению Ζ = 0.
                                                                    8. Чем определяется направление скорейшего возрастания
                         x11 = 50 − x11 = 30 ,                  целевой функции? Постройте grad Z для функции Ζ = 4 x1 − x2 .
                         x12 = 70 − x22 = 0.                        9. Что называется оптимальным решением ЗЛП?
                                                                    10. Какие случаи возможны при решении ЗЛП?
    Итак, искомый оптимальный план
                                                                    11. Как выражается оптимальное решение при наличии аль-
                                ⎛ 30 0 ⎞
                         X * = ⎜⎜       ⎟⎟ .                    тернативного оптимума?
                                ⎝ 20 70 ⎠
    При этом минимальное значение целевой функции

                 Z min = 2 ⋅ 20 − 2 ⋅ 70 + 380 = 280 .
    Исходя из условий задачи, можно дать интерпретацию полу-
ченного решения: первый вид оборудования используется для
выпуска продукции А в количестве 30 единиц, продукция В на
первом виде оборудования не производится. На втором виде обо-
рудования производится 20 единиц продукции А и 70 единиц
продукции В. При этом затраты на выпуск продукции будут ми-
нимальными и составят 280 условных единиц.



                                 47                                                             48

Страницы