Математическое программирование (линейное программирование). Киселева Э.В - 22 стр.

     Построим математическую модель задачи. Целевая функция                                   ⎧− x21 − 2 x22 ≤ −130,
описывает затраты времени, связанные с выпуском всей продук-                                  ⎪
                                                                                              ⎪⎪− 2 x21 + x22 ≤ 30,
ции:                                                                                           ⎨
                   Z = 2 x11 + 4 x12 + 4 x 21 + 2 x 22 .                                       ⎪          x21 ≤ 50,
     Ограничения по фонду рабочего времени:                                                    ⎪
                                                                                               ⎪⎩         x22 ≤ 70,
                          ⎧2 x11 + 4 x12 ≤ 120 ,                                               x21 ≥ 0,        x22 ≥ 0.
                          ⎨
                          ⎩4 x11 + 2 x22 ≤ 260.                         Построив     соответствующие           данным       ограничениям-
    Ограничения по необходимости выполнения плана:                  неравенствам граничные прямые:
                                                                        x21 + 2 x22 = 130 ,     − 2 x21 + x22 = 30 ,      x21 = 50 , x22 = 70 ,
                            ⎧ x11 + x21 = 50 ,
                            ⎨                                       определим полуплоскости, в которых выполняются соответст-
                            ⎩ x12 + x22 = 70.                       вующие неравенства. Общей частью всех полуплоскостей (с уче-
    Принимая также во внимание условия неотрицательности            том x21 ≥ 0, x22 ≥ 0 ) является многоугольник ABCD.
переменных, получим математическую модель:

                 Z = 2 x11 + 4 x12 + 4 x21 + 2 x22 → min,
                       ⎧2 x11 + 4 x12 ≤ 120,
                       ⎪4 x + 2 x ≤ 260,
                       ⎪ 11         22
                       ⎨
                              +
                       ⎪ 11 21 50,
                          x     x   =
                       ⎪⎩ x12 + x22 = 70,
                       xij ≥ 0   (i = 1,2; j = 1,2).
    Чтобы решать задачу графическим методом, прежде всего
запишем модель в стандартной форме. Для этого выразим x11 и x12
из последних двух ограничений x11 = 50 − x 21 , x12 = 70 − x 22 и
подставим их в ограничения-неравенства и целевую функцию. В
результате преобразований получим:
                                                                      Рис. 4.5. Целевая функция достигает минимального значения
                     z = 2 x21 − 2 x22 + 380 → min,                                            в точке B


                                  45                                                                      46