Математическое программирование (линейное программирование). Киселева Э.В - 20 стр.

         д                       е                     ж
                        Рис. 4.2. (окончание)

    Пример 4.2. Построить ОДР системы линейных неравенств:
                         ⎧3 x1 + 5 x2 ≤ 15,
                         ⎪
                         ⎪⎪2 x1 + x2 ≥ 2,
                          ⎨
                          ⎪ x1       ≤ 4,
                          ⎪                                                   Рис. 4.3. Область допустимых решений системы
                          ⎪⎩ x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.                                               линейных неравенств

                                                                                                  ЭТАП 2
    Решение. В неравенствах системы и условиях неотрицатель-
ности переменных ( x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0 ) знаки неравенств заменим на         Теперь предположим, что ОДР найдена. Перейдем к сле-
знаки равенств:                3x1 + 5 x2 = 15 ,            (4.1)   дующему этапу графического метода решения ЗЛП. Покажем,
                               2 x1 + x2 = 2 ,              (4.2)   как среди всех точек ОДР найти такую точку, в которой функция
                                      x1 = 4 ,              (4.3)   цели имеет максимальное значение. Для этого рассмотрим функ-
                                                                    цию цели:
                              x1 = 0 (ось 0Х2),             (4.4)
                                                                                               Z = c1 x1 + c2 x2 .
                               x 2 = 0 (ось0Х1).            (4.5)       Из курса высшей математики известно, что уравнение
                                                                    Z = c1 x1 + c 2 x 2 при фиксированном значении Z определяет пря-
    Построим полученные прямые, найдем соответствующие не-
                                                                    мую, а при изменении значения Z – семейство параллельных
равенствам полуплоскости и их пересечение.
                                                                    прямых. Для всех точек, лежащих на одной из прямых, функция Z
    Итак, ОДР системы линейных неравенств является выпук-
                                                                    принимает одно и то же значение, поэтому указанные прямые на-
лый многоугольник АВСDЕ.
                                                                    зываются линиями уровня для функции Z.


                                41                                                                      42