ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
Задание № 1. Системы линейных уравнений
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1) найти её решение с помощью формул Крамера;
2) найти её решение, пользуясь методом Гаусса;
3) записать систему в матричной форме и решить её средствами матричного
исчисления;
4) проверить правильность вычисления обратной матрицы , используя матрич -
ное умножение.
§1. Определители 2-го и 3-го порядков . Правило Крамера
Определитель второго порядка, соответствующий таблице элементов
ba
b
a
2
2
11
, вычисляется по формуле:
ba
b
a
2
2
11
= a
1
b
2
– a
2
b
1
.
Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов
c
b
a
c
b
a
c
b
a
333
222
111
, вычисляется по формуле:
c
b
a
c
b
a
c
b
a
333
222
111
=
ba
b
a
c
ca
ca
b
cb
cb
a
33
22
1
33
22
1
3
3
22
1
+− .
Раскрывая в последней формуле определители второго порядка и собирая чле-
ны с одинаковыми знаками, получим , что определитель третьего порядка
представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых:
c
b
a
c
b
a
c
b
a
333
222
111
= a
1
b
2
c
3
+ a
2
b
3
c
1
+ a
3
b
1
c
2
– a
3
b
2
c
1
– a
2
b
1
c
3
– a
1
b
3
c
2
.
Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений с тремя неиз -
вестными:
=
+
+
=
+
+
=
+
+
.
,
,
3333
2
2
22
1
1
1
1
d
z
c
y
b
х
а
d
z
c
y
b
х
а
d
z
c
y
b
х
а
Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х; у; z) , удовлетво -
ряющая этой системе.
3
Задание №1. Системы линейных уравнений
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1) найти её решение с помощью формул Крамера;
2) найти её решение, пользуясь методом Гаусса;
3) записать систему в матричной форме и решить её средствами матричного
исчисления;
4) проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матрич-
ное умножение.
§1. Определители 2-го и 3-го порядков. Правило Крамера
Определитель второго порядка, соответствующий таблице элементов
� a 1 b1 � a 1 b1
�
� �
�, вычисляется по формуле: = a1 b2 – a2 b1.
� a 2 b2 � a 2 b2
Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов
�a1 b1 c1 �
� �
� 2 b2 2 �, вычисляется по формуле:
a c
� �
�a3 b3 c3 �
a 1 b1 c 1
b2 c2 a c a b
a 2 b2 c2 = a1 − b1 2 2 + c1 2 2 .
b3 c 3 a3 c3 a3 b 3
a 3 b3 c 3
Раскрывая в последней формуле определители второго порядка и собирая чле-
ны с одинаковыми знаками, получим, что определитель третьего порядка
представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых:
a 1 b1 c 1
a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 – a3 b2 c1 – a2 b1 c3 – a1 b3 c2 .
a3 b3 c3
Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений с тремя неиз-
вестными:
�а1 х +b1 y +c1 z =d 1 ,
�
�а 2 х +b 2 y +c 2 z =d 2 ,
�а х
� 3 +b 3 y +c 3 z =d 3 .
Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х; у; z) , удовлетво-
ряющая этой системе.
