Высшая математика. Киселева О.Е - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Введем определитель системы D =
c
b
a
c
b
a
c
b
a
333
222
111
,
а также дополнительные определители
D
x
=
c
b
d
c
b
d
c
b
d
33
3
22
2
111
, D
y
=
cda
cda
cda
333
222
111
, D
z
=
d
b
a
d
b
a
d
b
a
3
33
2
22
111
.
Если определитель системы D ≠ 0, то система имеет единственное решение
x =
D
D
х
; y =
D
D
y
; z =
D
D
z
.
Это и есть правило Крамера.
§2. Метод Гаусса
Рассмотрим линейную систему трех уравнений с тремя неизвестными:
=
+
+
=
+
+
=
+
+
.
,
,
3333
2
2
22
1
1
1
1
d
z
c
y
b
х
а
d
z
c
y
b
х
а
d
z
c
y
b
х
а
Пусть для определенности а
1
≠ 0 – “ведущий” коэффициент.
Разделим все члены первого уравнения на а
1
. Получим приведенное урав-
нение
a
d
z
a
c
y
a
b
x
1
1
1
1
1
1
=++
. Пусть
γ
;
β
1
1
1
1
1
1
==
a
c
a
b
. Для исключения х из двух
других уравнений умножим приведенное уравнение сначала на а
2
и вычтем из
второго уравнения, а затем умножим его на а
3
и вычтем из третьего уравнения.
Таким образом, получим систему
=+
=+
=
+
+
,
δ
γβ
,
δ
γβ
,
δ
γβ
3
33
2
22
1
11
zy
zy
zyx
;
δ
δ
;
γ
γ
;
β
β
;
δ где
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
a
d
aca
b
a
d
−
=−=−==
δ
δ
;
γ
γ
;
β
β
1
3
33
1
3
3
3
1
33
3
ad
ac
a
b
−
=
−
=
−
=
.
Если 0
β
2
≠
, то разделим второе уравнение последней системы на
β
2
и, умно-
жив затем на
β
3
, вычтем его из третьего уравнения:
′
=
′
′
=
′
+
=
+
+
,
δ
γ
,
δ
γ
,
δ
γβ
3
3
2
2
1
11
z
zy
zyx
где .
δ
β
δ
δ
;
γ
β
γ
γ
;
β
δ
δ
;
β
γ
γ
2
3
3
3
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
′
−=
′
′
−=
′
=
′
=
′
                                                   4
                                       a 1 b1 c 1
     Введем определитель системы D = a2 b2 c2 ,
                                       a 3 b3 c 3
а также дополнительные определители
           d 1 b1 c 1      a 1 d 1 c1       a 1 b1 d 1
     Dx = d 2 b2 c2 , Dy = a2 d 2 c2 , Dz = a2 b2 d 2 .
          d 3 b3 c 3       a3 d 3 c 3       a 3 b3 d 3
     Если определитель системы D ≠0, то система имеет единственное решение
    D        Dy       D
x = х; y=       ;z= z.
    D         D       D
     Это и есть правило Крамера.

                                        §2. Метод Гаусса

      Рассмотрим линейную систему трех уравнений с тремя неизвестными:
 �а1 х +b1 y +c1 z =d 1 ,
 �
 �а 2 х +b 2 y +c 2 z =d 2 ,
 �а х
 � 3 +b 3 y +c 3 z =d 3 .
      Пусть для определенности а1 ≠0 – “ведущий” коэффициент.
      Разделим все члены первого уравнения на а1. Получим приведенное урав-
              b      c      d     b1        c
нение x + 1 y + 1 z = 1 . Пусть      =β 1 ; 1 =γ 1 . Для исключения х из двух
              a1     a1      a1   a1       a1
других уравнений умножим приведенное уравнение сначала на а2 и вычтем из
второго уравнения, а затем умножим его на а3 и вычтем из третьего уравнения.
                                                          �x +β 1 y +γ 1z =δ 1 ,
                                                          �
Таким        образом,        получим       систему        � β2 y +γ2 z =δ2 ,
                                                          � β y +γ z =δ ,
                                                          � 3        3     3

            d1
где δ 1 =      ; = −a ; = c2 −a 2 γ1; δ2 = d 2 −a 2 δ 1 ;
            a 1 β2 b 2 2 β1 γ2
 β3 =b 3 −a 3 β1 ; γ3 = c3 −a 3 γ1; δ3 = d 3 −a 3 δ 1 .

Если β2 ≠0 , то разделим второе уравнение последней системы на β2 и, умно-
жив затем на β3 , вычтем его из третьего уравнения:

                     �x +β 1 y +γ 1z =δ 1 ,
                     �
                     � y +γ′2 z =δ′2 ,
                     �    γ′3 z =δ′3 ,
                     �
         γ         δ
где γ′2 = 2 ; δ′2 = 2 ; γ3′ =γ3 − β 3 γ′2 ; δ′3 =δ3 −β 3 δ′2 .
         β2        β2

Страницы