Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2) композиции преобразований t
k
◦ t
l
будет соответствовать произве-
дение матриц T
k
T
l
.
Ответы, указания и решения
1.1 Решение. z
1
=
√
2e
i π(2k−1/6)
, z
2
=
√
2e
i π(2m−1/4)
, k, m ∈ Z
⇒ z
1
/z
2
= e
i π[2(k−m)+1/12]
= cos(π/12) + i sin(π/12). С другой сторо-
ны, z
1
/z
2
= [
√
6 +
√
2 + i (
√
6 −
√
2)]/4 ⇒ cos(π/12) = (
√
6 +
√
2)/4,
sin(π/12) = (
√
6 −
√
2)/4.
1.2 1) cos α e
−i α
(|α| < π/2), −cos α e
i (π−α)
(π/2 < α < π),
−cos α e
−i (π+α)
(−π < α < −π/2); 2)2e
i π/3
; 3) 2
√
2e
5i π/6
; 4) Используя ре-
зультат задачи 1.1, получим (
√
6 −
√
2)e
−i π/12
; 5) 2 cos(α/2) e
i α/2
;
6) 2 sin(α/2) e
i (α−π)/2
; 7) e
i (α−β)
sin α/ sin β.
1.3 −i tg (α/2).
1.4 u = 2
13
, v = 2
13
√
3.
Указание. Представить числа 1 ± i
√
3 в показательной форме.
1.5 Указание. 1) Воспользоваться равенством |z|
2
= zz. Геометри-
ческий смысл – известная теорема геометрии: сумма квадратов сторон
параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. 2) 0пределив
корни уравнения, возвести обе части доказываемого равенства в квадрат
и воспользоваться результатом задачи 1).
1.6 1) Прямая, проходящая через начало координат, перпендикуляр-
ная вектору z
1
; 2) перпендикуляр к середине отрезка [z
1
, z
2
].
Указание. Воспользоваться геометрическим смыслом суммы и разно-
сти двух векторов.
1.7 Указание. Воспользоваться геометрическим смыслом суммы
векторов.
1.8 z = e
±i π/3
. Решение. Из условия |z| = 1/|z| ⇒ |z| = 1. Из равен-
ства |z| = |z − 1| = 1 вытекает, что треугольник с вершинами в точках
0, 1, z равносторонний (сделать чертеж) ⇒ arg z = ±π/3.
1.9 Указание. Учесть, что z = 1/z при |z| = 1.
1.10 k = tg (ϑ/ 2).
Указание. Необходимость проверяется непосредственно: |z|
2
= zz = 1.
Для доказательства достаточности разрешить указанное представление
относительно k и воспользоваться указанием к предыдущей задаче.
1.11 1)
√
3|z
1
+ z
2
|/2; 2)|z
1
− z
2
|/2.
Указание. Учитывая, что при повороте все точки z ∈ [z
1
, z
2
] перейдут
9
   2) композиции преобразований tk ◦ tl будет соответствовать произве-
дение матриц Tk Tl .

    Ответы, указания и решения
                                   √ i π(2k−1/6)                √ i π(2m−1/4)
    1.1 Решение. z1 =                2e            , z2 =         2e            , k, m ∈ Z
                 i π[2(k−m)+1/12]
⇒ z1 /z2 = e √            √         =√ cos(π/12)
                                            √          + i sin(π/12). С другой  √     сторо-
                                                                                      √
ны, z1 /z2 = √[ 6 +√ 2 + i ( 6 − 2)]/4 ⇒ cos(π/12) = ( 6 + 2)/4,
sin(π/12) = ( 6 − 2)/4.
    1.2 1) cos α e−i α (|α| < π/2), − cos α e√               i (π−α)
                                                                       (π/2 < α < π),
         −i (π+α)                               i π/3              5i π/6
− cos α e         (−π < α < −π/2);    √    2)2e
                                             √ −i π/12; 3) 2    2e        ; 4) Используя ре-
зультат задачи 1.1, получим ( 6 − 2)e                       ; 5) 2 cos(α/2) ei α/2 ;
                i (α−π)/2       i (α−β)
6) 2 sin(α/2) e           ; 7) e        sin α/ sin β.
    1.3 −i tg (α/2).           √
    1.4 u = 213 , v = 213 3.                   √
Указание. Представить числа 1 ± i 3 в показательной форме.
    1.5 Указание. 1) Воспользоваться равенством |z|2 = zz. Геометри-
ческий смысл – известная теорема геометрии: сумма квадратов сторон
параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. 2) 0пределив
корни уравнения, возвести обе части доказываемого равенства в квадрат
и воспользоваться результатом задачи 1).
    1.6 1) Прямая, проходящая через начало координат, перпендикуляр-
ная вектору z1 ; 2) перпендикуляр к середине отрезка [z1 , z2 ].
Указание. Воспользоваться геометрическим смыслом суммы и разно-
сти двух векторов.
    1.7 Указание. Воспользоваться геометрическим смыслом суммы
векторов.
    1.8 z = e±i π/3 . Решение. Из условия |z| = 1/|z| ⇒ |z| = 1. Из равен-
ства |z| = |z − 1| = 1 вытекает, что треугольник с вершинами в точках
0, 1, z равносторонний (сделать чертеж) ⇒ arg z = ±π/3.
    1.9 Указание. Учесть, что z = 1/z при |z| = 1.
    1.10 k = tg (ϑ/2).
Указание. Необходимость проверяется непосредственно: |z|2 = zz = 1.
Для доказательства достаточности разрешить указанное представление
относительно √ k и воспользоваться указанием к предыдущей задаче.
    1.11 1) 3|z1 + z2 |/2; 2)|z1 − z2 |/2.
Указание. Учитывая, что при повороте все точки z ∈ [z1 , z2 ] перейдут



                                             9

Страницы