Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.25 Найти остаток от деления полинома P (x) = (cos ϑ + x sin ϑ)
n
на
Q(x) = x
2
+ 1 (n ≥ 2).
1.26 Вычислить A
k
= ε
k
+ ε
2
k
+ ε
4
k
и B
k
= ε
3
k
+ ε
5
k
+ ε
6
k
, где ε
k
= e
2πki /7
,
k = 1, 6.
1.27 Пусть ε = e
2πi /n
. Вычислить суммы S
k
=
P
n
j=0
ε
kj
, k ∈ Z.
1.28 Вычислить сумму S(z) =
P
n
k=0
(z + ε
k
)
n
, если ε = e
2πi /n
.
1.29 Линеаризовать выражения (т.е. в данном случае представить в
виде линейной комбинации синусов и косинусов кратных углов):
1) cos
n
ϑ; 2) sin
n
ϑ, n ∈ N.
1.30 Вычислить неопределенные интегралы:
1)
R
cos
8
ϑdϑ; 2)
R
sin
8
ϑdϑ.
1.31 Найти суммы:
1) S
1
=
n−1
X
k=0
a
k
cos kϑ, S
2
=
n−1
X
k=1
a
k
sin kϑ, a, ϑ ∈ R;
2) S
1
=
n−1
X
k=0
cos kϑ
(cos ϑ)
k
, S
2
=
n−1
X
k=1
sin kϑ
(cos ϑ)
k
, ϑ 6=
π
2
+ πm, m ∈ Z;
3) S
1
=
n−1
X
k=0
cos
4
kϑ, S
2
=
n−1
X
k=1
sin
4
kϑ.
1.32 Вычислить суммы:
1) S
1
=
n
X
k=0
C
k
n
cos kϑ, S
2
=
n
X
k=1
C
k
n
sin kϑ;
2) S
1
=
n−1
X
k=1
k cos kϑ, S
2
=
n−1
X
k=1
k sin kϑ.
1.33 Найти произведения:
1)
n−1
Y
k=1
sin
πk
n
; 2)
n−1
Y
k=1
sin
πk
2n
; 3)
n
Y
k=1
sin
πk
2n + 1
.
1.34 Доказать, что:
1)
n−1
Y
k=1
cos
πk
n
=
½
0, n = 2m;
2
1−n
(−1)
m
, n = 2m + 1;
7
    1.25 Найти остаток от деления полинома P (x) = (cos ϑ + x sin ϑ)n на
Q(x) = x2 + 1 (n ≥ 2).
    1.26 Вычислить Ak = εk + ε2k + ε4k и Bk = ε3k + ε5k + ε6k , где εk = e2πki /7 ,
k = 1, 6.                                            P
    1.27 Пусть ε = e2πi /n . Вычислить суммы Sk = nj=0 εkj , k ∈ Z.
                                    P
    1.28 Вычислить сумму S(z) = nk=0 (z + εk )n , если ε = e2πi /n .
    1.29 Линеаризовать выражения (т.е. в данном случае представить в
виде линейной комбинации синусов и косинусов кратных углов):
1) cosn ϑ; 2) sinn ϑ, n ∈ N.
   R1.308 ВычислитьR неопределенные
                         8
                                      интегралы:
1) cos ϑdϑ; 2) sin ϑdϑ.
    1.31 Найти суммы:
                      n−1
                      X                                  n−1
                                                         X
                              k
           1) S1 =           a cos kϑ,            S2 =         ak sin kϑ,      a, ϑ ∈ R;
                      k=0                                k=1

             n−1
             X                            n−1
                                          X
                  cos kϑ                       sin kϑ                       π
     2) S1 =              ,          S2 =              ,            ϑ 6=      + πm, m ∈ Z;
             k=0
                 (cos ϑ)k                 k=1
                                              (cos ϑ)k                      2
                                  n−1
                                  X                              n−1
                                                                 X
                                              4
                    3) S1 =              cos kϑ,         S2 =          sin4 kϑ.
                                  k=0                            k=1
   1.32 Вычислить суммы:
                              n
                              X                                  n
                                                                 X
                1) S1 =             Cnk   cos kϑ,        S2 =          Cnk sin kϑ;
                              k=0                                k=1

                                  n−1
                                  X                              n−1
                                                                 X
                    2) S1 =              k cos kϑ,       S2 =          k sin kϑ.
                                  k=1                            k=1
   1.33 Найти произведения:
              n−1
              Y                            n−1
                                           Y                             n
                                                                         Y
                      πk                           πk                                  πk
         1)       sin    ;          2)         sin    ;           3)           sin          .
              k=1
                      n                    k=1
                                                   2n                    k=1
                                                                                     2n + 1

   1.34 Доказать, что:
                     n−1
                     Y                    ½
                             πk               0,          n = 2m;
               1)        cos    =              1−n  m
                             n                2 (−1) , n = 2m + 1;
                     k=1


                                                   7

Страницы