Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2)
2n−1
Y
k=1,k6=n
cos
πk
2n
= n2
2(1−n)
.
1.35 Вычислить
Q
7
k=1
cos(πk/15).
1.36 Представить cos(2n+1)ϑ в виде полинома степени 2n+1 от cos ϑ
и вычислить коэффициент a
2n+1
при старшей степени этого полинома.
1.37 Выразить sin(2n + 1)α через sin α и cos α и на основании полу-
ченного представления найти все корни уравнения
n
X
k=0
(−1)
k
C
2k+1
2n+1
x
n−k
= 0.
1.38 При каком значении параметра a ∈ C уравнение Ln z = a
(ln z = a) имеет 1) вещественный корень; 2) чисто мнимый корень? Най-
ти этот корень (под Ln z понимается произвольно фиксированная ветвь
логарифма).
1.39 Как зафиксировать ветвь логарифма в плоскости с разрезом по
R
−
x
, чтобы уравнение ln z = 11πi имело решение? Найти это решение.
Определить значение выбранной ветви логарифма в точке z = 1 −i .
1.40 Вычислить 1) ln(1+i ) и Ln (1 + i ); 2) ln(−2 + 3i ) и Ln (−2+3i )
; 3) ln(−3 − 2i ) и Ln (−3 − 2i ).
1.41 1) Показать, что при вещественном a уравнение sin z = a имеет
вещественные корни ⇔ |a| ≤ 1; 2) решить уравнение при |a| > 1.
1.42 Решить уравнения: 1) sin z = i ; 2) cos z = i ; 3) tg z = 2i .
1.43 Решить уравнения: 1) z
i
= i
i
; 2) i
z
= 2
i
, определяя их правые
части как значения фиксированной ветви общей степенной функции z
i
.
1.44 Вычислить 1) 1
i
; 2) (−1)
i
; 3) (1 + i )
1−i
.
1.45 Найти значения 1) Arccos 2; 2) Arccos(−2); 3) Arcsin 2;
4)Arcsin(−2).
1.46 Пусть t
k
(z) = (a
k
z + b
k
)/(c
k
z + d
k
), (a
k
, b
k
, c
k
, d
k
∈ C, a
k
d
k
−
b
k
c
k
6= 0, k ∈ Z) – дробно-линейные преобразования. Показать, что если
преобразованию t
k
(z), k ∈ Z поставить в соответствие матрицу
T
k
=
µ
a
k
b
k
c
k
d
k
,
то
1) обратному преобразованию t
−1
k
(z) ставится в соответствие обрат-
ная матрица T
−1
k
;
8
                                    2n−1
                                     Y           πk
                         2)                cos      = n22(1−n) .
                               k=1,k6=n
                                                 2n
                       Q7
   1.35 Вычислить k=1 cos(πk/15).
   1.36 Представить cos(2n+1)ϑ в виде полинома степени 2n+1 от cos ϑ
и вычислить коэффициент a2n+1 при старшей степени этого полинома.
   1.37 Выразить sin(2n + 1)α через sin α и cos α и на основании полу-
ченного представления найти все корни уравнения
                              n
                              X
                                    (−1)k C2n+1
                                           2k+1 n−k
                                                x   = 0.
                              k=0

     1.38 При каком значении параметра a ∈ C уравнение Ln z = a
(ln z = a) имеет 1) вещественный корень; 2) чисто мнимый корень? Най-
ти этот корень (под Ln z понимается произвольно фиксированная ветвь
логарифма).
     1.39 Как зафиксировать ветвь логарифма в плоскости с разрезом по
R−x чтобы уравнение ln z = 11πi имело решение? Найти это решение.
    ,
Определить значение выбранной ветви логарифма в точке z = 1 − i .
     1.40 Вычислить 1) ln(1 + i ) и Ln (1 + i ); 2) ln(−2 + 3i ) и Ln (−2 + 3i )
; 3) ln(−3 − 2i ) и Ln (−3 − 2i ).
     1.41 1) Показать, что при вещественном a уравнение sin z = a имеет
вещественные корни ⇔ |a| ≤ 1; 2) решить уравнение при |a| > 1.
     1.42 Решить уравнения: 1) sin z = i ; 2) cos z = i ; 3) tg z = 2i .
     1.43 Решить уравнения: 1) z i = i i ; 2) i z = 2i , определяя их правые
части как значения фиксированной ветви общей степенной функции z i .
     1.44 Вычислить 1) 1i ; 2) (−1)i ; 3) (1 + i )1−i .
     1.45 Найти значения 1) Arccos 2; 2) Arccos(−2); 3) Arcsin 2;
4)Arcsin(−2).
     1.46 Пусть tk (z) = (ak z + bk )/(ck z + dk ), (ak , bk , ck , dk ∈ C, ak dk −
bk ck 6= 0, k ∈ Z) – дробно-линейные преобразования. Показать, что если
преобразованию tk (z), k ∈ Z поставить в соответствие матрицу
                                    µ           ¶
                                       ak bk
                             Tk =                 ,
                                       ck dk
то
   1) обратному преобразованию t−1
                                k (z) ставится в соответствие обрат-
              −1
ная матрица Tk ;

                                             8

Страницы