Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.11 Отрезок [z
0
1
, z
0
2
] получается из отрезка [z
1
, z
2
] поворотом на угол
2π/3. Найти расстояние между серединами отрезков: 1) [z
1
, z
2
] и [z
0
1
, z
0
2
];
2) [z
1
, z
0
1
] и [z
2
, z
0
2
].
1.12 Показать, что ∀k = 1, n − 1,
P
n−1
j=0
ε
j
k
= 0, где ε
k
= e
2i πk/n
.
1.13 Доказать, что треугольник с вершинами в точках z
1
, z
2
, z
3
, за-
нумерованными против часовой стрелки (в этом случае говорят, что
тройка чисел положительно ориентирована), будет равносторонним ⇔
z
1
+ εz
2
+ ε
2
z
3
= 0, где ε = e
2i π/3
. Как изменится условие, если тройка
чисел z
1
, z
2
, z
3
ориентирована отрицательно?
1.14 Пусть z
k
, k = 1, 2, 3 – произвольная положительно ориентиро-
ванная тройка чисел, z
0
k
= z
k
e
i π/3
, k = 1, 2, 3. Доказать, что треугольник с
вершинами в серединах отрезков [z
0
1
, z
2
], [z
0
2
, z
3
] и [z
0
3
, z
1
] равносторонний.
1.15 Доказать аналитически и выяснить геометрический смысл нера-
венств:
1) | |z
1
|−|z
2
| |≤ |z
1
+z
2
| ≤ |z
1
|+|z
2
|; 2) |z| ≤ |Re z|+|Im z| ≤
√
2|z|.
1.16 Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заклю-
чающих ее сторон.
1.17 Доказать геометрически неравенства:
1) |z − |z| |≤ |z||arg z|; 2) |z
1
/|z
1
| − z
2
/|z
2
| |≤ |arg z
1
− arg z
2
|;
3) |z − 1| ≤| |z| − 1| + |z| | arg z|;
4)|z
1
− z
2
| ≤| |z
1
| − |z
2
| | +|z
1
||arg z
1
− arg z
2
|.
1.18 Пусть a
k
= z
k
/|z
k
| (z
k
6= 0), k = 1, n,
P
n
k=1
a
k
= 0. Доказать, что:
1) сумма S =
P
n
k=1
a
k
(z − z
k
) ∈ R, не зависит от z и S < 0;
2)
P
n
k=1
|z − z
k
| ≥
P
n
k=1
|z
k
|, ∀z ∈ C.
1.19 Выяснить, когда уравнение z
2
+(a+i b)z +c+i d = 0, a, b, c, d ∈ R
имеет: 1) два различных действительных корня; 2) ровно один действи-
тельный корень.
1.20 Пусть z = x + i y (y 6= 0) – корень уравнения z
3
+ pz + q = 0,
(p, q ∈R). Найти полином, нулем которого будет x = Re z.
1.21 Доказать, что произведение расстояний от точки b ∈ C до всех
корней уравнения z
n
− a
n
= 0, a ∈ C, равно |b
n
− a
n
|.
1.22 Решить уравнение 4z
2
+ 8|z|
2
− 3 = 0.
1.23 Исследовать на разрешимость уравнения: 1) az + bz = c, если
a, b, c. ∈ C и a 6= 0, b 6= 0; 2) az
2
+ bz = az
2
+ bz, если a, b ∈ R, a 6= 0.
1.24 Найти все корни уравнений: 1) (z + i )
n
= (z − i )
n
;
2) (1 + i z)
n
/(1 − i z)
n
= (1 + i tg α)/(1 − i tg α), |α| < π/2;
3) 1 + 2z + 2z
2
+ ··· + 2z
n−1
+ z
n
= 0;
4) z
4
= 8a
2
− (1 + a
2
)
2
+ 4a(1 − a
2
)i , a ∈ R.
6
    1.11 Отрезок [z10 , z20 ] получается из отрезка [z1 , z2 ] поворотом на угол
2π/3. Найти расстояние между серединами отрезков: 1) [z1 , z2 ] и [z10 , z20 ];
2) [z1 , z10 ] и [z2 , z20 ].                     P
    1.12 Показать, что ∀k = 1, n − 1, n−1                 j
                                                    j=0 εk = 0, где εk = e
                                                                           2i πk/n
                                                                                   .
    1.13 Доказать, что треугольник с вершинами в точках z1 , z2 , z3 , за-
нумерованными против часовой стрелки (в этом случае говорят, что
тройка чисел положительно ориентирована), будет равносторонним ⇔
z1 + εz2 + ε2 z3 = 0, где ε = e2i π/3 . Как изменится условие, если тройка
чисел z1 , z2 , z3 ориентирована отрицательно?
    1.14 Пусть zk , k = 1, 2, 3 – произвольная положительно ориентиро-
ванная тройка чисел, zk0 = zk ei π/3 , k = 1, 2, 3. Доказать, что треугольник с
вершинами в серединах отрезков [z10 , z2 ], [z20 , z3 ] и [z30 , z1 ] равносторонний.
    1.15 Доказать аналитически и выяснить геометрический смысл нера-
венств:                                                                              √
    1) | |z1 |−|z2 | |≤ |z1 +z2 | ≤ |z1 |+ |z2 |; 2) |z| ≤ |Re z|+|Im z| ≤ 2|z|.
    1.16 Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заклю-
чающих ее сторон.
    1.17 Доказать геометрически неравенства:
    1) |z − |z| |≤ |z|| arg z|; 2) |z1 /|z1 | − z2 /|z2 | |≤ | arg z1 − arg z2 |;
3) |z − 1| ≤| |z| − 1| + |z| | arg z|;
4)|z1 − z2 | ≤| |z1 | − |z2 | | +|z1 | | arg z1 − arg z2 |.P
    1.18 ПустьP        ak = zk /|zk | (zk 6= 0), k = 1, n, nk=1 ak = 0. Доказать, что:
1) сумма
    Pn         S = nk=1Pak (z − zk ) ∈ R, не зависит от z и S < 0;
2) k=1 |z − zk | ≥ nk=1 |zk |, ∀z ∈ C.
    1.19 Выяснить, когда уравнение z 2 + (a + i b)z + c + i d = 0, a, b, c, d ∈ R
имеет: 1) два различных действительных корня; 2) ровно один действи-
тельный корень.
    1.20 Пусть z = x + i y (y 6= 0) – корень уравнения z 3 + pz + q = 0,
(p, q ∈ R). Найти полином, нулем которого будет x = Re z.
    1.21 Доказать, что произведение расстояний от точки b ∈ C до всех
корней уравнения z n − an = 0, a ∈ C, равно |bn − an |.
    1.22 Решить уравнение 4z 2 + 8|z|2 − 3 = 0.
    1.23 Исследовать на разрешимость уравнения: 1) az + bz = c, если
a, b, c. ∈ C и a 6= 0, b 6= 0; 2) az 2 + bz = az 2 + bz, если a, b ∈ R, a 6= 0.
    1.24 Найти все корни уравнений: 1) (z + i )n = (z − i )n ;
2) (1 + i z)n /(1 − i z)n = (1 + i tg α)/(1 − i tg α), |α| < π/2;
3) 1 + 2z + 2z 2 + · · · + 2z n−1 + z n = 0;
4) z 4 = 8a2 − (1 + a2 )2 + 4a(1 − a2 )i , a ∈ R.

                                          6

Страницы