Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1. Действия над комплексными числами и
элементарные функции комплексного пе-
ременного
При решении задач этой темы требуется твердое знание определений и
формул, помещенных в начале пособия, а также понятий, связанных с
геометрической интерпретацией комплексных чисел.
1.1 Представив в показательной форме числа z
1
= (
√
6 − i
√
2)/2 и
z
2
= 1 − i , найти z = z
1
/z
2
и вычислить cos(π/12) и sin(π/12).
1.2 Представить в показательной форме, указав главные значения
аргументов, следующие комплексные числа:
1) (1 + i tg α)
−1
, если |α| < π, α 6= ±π/2; 2) 1 + i
√
3; 3) −
√
6 + i
√
2;
4) 1−(2−
√
3)i ; 5) 1+cos α+i sin α (|α| < π); 6) 1−cos α−i sin α (0 < α < 2π);
7) (1 − e
2i α
)/(1 − e
2i β
), если 0 < α, β < π.
1.3 Представить число (1 −cos α −i sin α)/(1 + cos α + i sin α) в декар-
товой (алгебраической) форме.
1.4 Вычислить:
1) u = (1 + i
√
3)
13
+ (1 − i
√
3)
13
, 2) v = [(1 + i
√
3)
13
− (1 − i
√
3)
13
]/i .
1.5 1) Доказать тождество |z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
= 2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
).
Выяснить его геометрический смысл. 2) Пусть z
1
и z
2
– корни уравнения
z
2
−2pz + q = 0 (p, q ∈ C). Доказать, что |z
1
|+ |z
2
| = |p + ε| + |p −ε|, где
ε – любое из значений
√
q.
1.6 Определить геометрическое место точек z, удовлетворяющих
уравнению
1) |z − z
1
| = |z + z
1
|; 2) |z − z
1
| = |z − z
2
|.
1.7 Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных
сторон и середины диагоналей четырехугольника пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам.
1.8 Найти все числа z такие, что |z| = |z|
−1
= |1 − z|.
1.9 Доказать, что если |z
k
| = 1, k = 1, 2, 3, то 1) |z
1
+ z
2
+ z
3
| =
|z
1
z
2
+ z
1
z
3
+ z
2
z
3
|; 2) (z
1
+ z
2
)/(1 + z
1
z
2
) ∈ R.
1.10 Доказать, что комплексное число z 6= −1 можно представить
в виде z = (1 + i k)/(1 − i k), k ∈ R ⇔ |z| = 1. Найти k, если z = e
i ϑ
(ϑ = arg z).
5
1.     Действия над комплексными числами и
       элементарные функции комплексного пе-
       ременного
При решении задач этой темы требуется твердое знание определений и
формул, помещенных в начале пособия, а также понятий, связанных с
геометрической интерпретацией комплексных чисел.


                                                                        √       √
     1.1 Представив в показательной форме числа z1 = ( 6 − i 2)/2 и
z2 = 1 − i , найти z = z1 /z2 и вычислить cos(π/12) и sin(π/12).
     1.2 Представить в показательной форме, указав главные значения
аргументов, следующие комплексные числа:                       √        √       √
                 −1
1) (1 + i tg√ α)    , если  |α| < π,  α =
                                        6  ±π/2;      2) 1 + i   3; 3) −  6 + i   2;
4) 1−(2− 3)i ; 5) 1+cos α+i sin α (|α| < π); 6) 1−cos α−i sin α (0 < α < 2π);
7) (1 − e2i α )/(1 − e2i β ), если 0 < α, β < π.
     1.3 Представить число (1 − cos α − i sin α)/(1 + cos α + i sin α) в декар-
товой (алгебраической) форме.
     1.4 Вычислить:
                √                 √                        √              √
1) u = (1 + i 3)13 + (1 − i 3)13 , 2) v = [(1 + i 3)13 − (1 − i 3)13 ]/i .
     1.5 1) Доказать тождество |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ).
Выяснить его геометрический смысл. 2) Пусть z1 и z2 – корни уравнения
z 2 − 2pz + q = 0 (p, q ∈ C). Доказать, что |z1 | + |z2 | = |p + ε| + |p − ε|, где
                              √
ε – любое из значений q.
     1.6 Определить геометрическое место точек z, удовлетворяющих
уравнению
     1) |z − z1 | = |z + z1 |; 2) |z − z1 | = |z − z2 |.
     1.7 Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных
сторон и середины диагоналей четырехугольника пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам.
     1.8 Найти все числа z такие, что |z| = |z|−1 = |1 − z|.
     1.9 Доказать, что если |zk | = 1, k = 1, 2, 3, то 1) |z1 + z2 + z3 | =
|z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 |; 2) (z1 + z2 )/(1 + z1 z2 ) ∈ R.
     1.10 Доказать, что комплексное число z 6= −1 можно представить
в виде z = (1 + i k)/(1 − i k), k ∈ R ⇔ |z| = 1. Найти k, если z = ei ϑ
(ϑ = arg z).


                                         5

Страницы