Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
1
:= z
2
⇔ x
1
= x
2
, y
1
= y
2
(x
k
= Re z
k
, y
k
= Im z
k
) ⇔ |z
1
| = |z
2
|,
arg z
1
= arg z
2
, если z
1,2
6= 0;
z
1
± z
2
:= x
1
± x
2
+ i (y
1
± y
2
);
z
1
z
2
:= x
1
x
2
− y
1
y
2
+ i (x
1
y
2
+ x
2
y
1
) ⇒ |z|
2
= r
2
= zz;
z
2
/z
1
:= z
2
z
1
/|z
1
|
2
для ∀z
1
6= 0;
(z
1
, z
2
), [z
1
, z
2
] – соединяющие точки z
1
и z
2
прямолинейные интервал и
сегмент соответственно;
z = r(cos ϑ + i sin ϑ) – тригонометрическая форма комплексного числа;
z = re
i ϑ
– показательная форма комплексного числа;
e
i ϑ
= cos ϑ + i sin ϑ – формула Эйлера;
(cos ϑ + i sin ϑ)
n
= cos nϑ + i sin nϑ – формула Муавра;
z
n
:= z ···z
| {z }
n
= r
n
e
i nϑ
= r
n
(cos nϑ + i sin nϑ), n ∈ N;
n
√
z :=w ⇔ w
n
=z; w = w
k
=
n
√
re
i (ϑ+2πk)/n
, k = 0, n − 1;
e
z
:= e
x
e
i y
= e
x
(cos y + i sin y) – показательная функция,
e
z+2πki
= e
z
, ∀k ∈ Z;
sin z = (e
i z
− e
−i z
)/(2i ), cos z = (e
i z
+ e
−i z
)/2, tg z = sin z/ cos z, ctg z =
1/tg z – основные тригонометрические функции;
sh z = (e
z
− e
−z
)/2, ch z = (e
z
+ e
−z
)/2, thz = sh z/ch z, cth z = 1/thz –
основные гиперболические функции;
Ln z := w ⇔ e
w
=z , Ln z =ln |z|+i Arg z– логарифмическая функция;
w
0
= ln z = ln |z| + i arg z – главное значение логарифма;
w = w
k
= w
0
+ 2πki , k ∈ Z – однозначные ветви логарифма, опре-
деленные в плоскости с разрезом, например, по R
−
x
;
z
a
:= e
aLn z
, a
z
:= e
zLn a
, a ∈ C – соответственно общая степенная и
общая показательная функции;
Arcsin z := w ⇔ sin w = z (аналогично определяются другие обратные
тригонометрические и гиперболические функции).
4
z1 := z2 ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 (xk = Re zk , yk = Im zk ) ⇔ |z1 | = |z2 |,
      arg z1 = arg z2 , если z1,2 6= 0;

z1 ± z2 := x1 ± x2 + i (y1 ± y2 );

z1 z2 := x1 x2 − y1 y2 + i (x1 y2 + x2 y1 )       ⇒   |z|2 = r2 = zz;

z2 /z1 := z2 z1 /|z1 |2 для ∀z1 6= 0;

(z1 , z2 ), [z1 , z2 ] – соединяющие точки z1 и z2 прямолинейные интервал и
        сегмент соответственно;

z = r(cos ϑ + i sin ϑ) – тригонометрическая форма комплексного числа;

z = rei ϑ – показательная форма комплексного числа;
     ei ϑ = cos ϑ + i sin ϑ – формула Эйлера;
     (cos ϑ + i sin ϑ)n = cos nϑ + i sin nϑ – формула Муавра;
     z n := z| ·{z
                 · · z} = rn ei nϑ = rn (cos nϑ + i sin nϑ), n ∈ N;
       √        n                         √
       n
           z := w ⇔ wn = z; w = wk =      n
                                              rei (ϑ+2πk)/n , k = 0, n − 1;

ez := ex ei y = ex (cos y + i sin y) – показательная функция,
     ez+2πki = ez , ∀k ∈ Z;

sin z = (ei z − e−i z )/(2i ), cos z = (ei z + e−i z )/2, tg z = sin z/ cos z, ctg z =
      1/tg z – основные тригонометрические функции;

sh z = (ez − e−z )/2, ch z = (ez + e−z )/2, thz = sh z/ch z, cth z = 1/thz –
     основные гиперболические функции;

Ln z := w ⇔ ew = z , Ln z = ln |z|+i Arg z– логарифмическая функция;
      w0 = ln z = ln |z| + i arg z – главное значение логарифма;
      w = wk = w0 + 2πki , k ∈ Z – однозначные ветви логарифма, опре-
      деленные в плоскости с разрезом, например, по R−     x;

z a := eaLn z , az := ezLn a , a ∈ C – соответственно общая степенная и
      общая показательная функции;

Arcsin z := w ⇔ sin w = z (аналогично определяются другие обратные
     тригонометрические и гиперболические функции).



                                              4

Страницы