Схемотехника цифровых ИС. Клюкин В.И - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
1. ОСНОВЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ
Состояние входов и выходов логических элементов (ЛЭ) могут принимать
только два различных значения, характеризующих не столько количественную ,
сколько качественную сторону происходящих изменений . Переменные, описы -
вающие эти состояния, также принимают 2 значения (в цифровой технике « 0 » и
« 1 » ), причем любое изменение состояния ЛЭ соответствует переходу «0»→«1»
или « 1 » → « 0 » . Возможную двойственность устраняют понятия положительной
( позитивной ) и отрицательной (негативной ) логик, а именно: в положительной
логике более высокому потенциалу соответствует логическая « 1 » , в отрицатель-
ной – логический « 0». Математика двузначных чисел есть алгебра логики , дока-
зательная база (постулаты 1… 5 и основные теоремы 6… 12) которой представле-
на в таблице 1.1.
Приведенные в таблице 1.1 соотношения имеют двойственный характер,
т.е. могут быть получены одно из другого взаимной заменой « 0 » ↔ « 1 » , (+)↔(•).
Отметим также, что в булевой алгебре справедливы переместительный и сочета-
тельный законы .
1.1. Логические функции
В булевой алгебре как аргументы , так и функции могут принимать только
2 значения, т.е. область определения булевых функций всегда конечна. Сово-
купность значений аргументов Z связана с числом переменных n соотношением
Z = 2
n
, а число соответствующих булевых функций , обозначающих логические
операции над n переменными, равно N
z
= 2
z
. Логические функции одной и двух
переменных вместе с графическими обозначениями базисных ЛЭ приведены в
табл. 1.2.
Из приведенных логических операций (функций ) основной базис состав -
ляют конъюнкция «и », дизъюнкция «или » и инверсия « и », образующие функ-
ционально полную систему, достаточную для реализации любой произвольно за -
данной функции двоичного аргумента. Примеры других функционально полных
наборов ЛЭ приведены в табл. 1.3. Нетрудно заметить , что базисные логические
функции «и », «или », «и -не», «или–не» легко обобщаются на случай
n переменных: f
1
(x
n
) = x
1
⋅x
2
⋅...⋅x
n;
; f
7
(x
n
) = x
1
+x
2
+...+x
n
; f
8
(x
n
) = x
1
+x
2
+...+x
n
;
f
14
(x
n
) = x
1
⋅x
2
⋅...⋅x
n
. Соответствующие логические устройства (аппаратурные ана-
логи ) будут иметь n входов .
1.2. Формы представления булевых функций
Как следует из теоремы разложения (табл. 1.1, № 14), любую логическую
функцию n переменных можно представить в двух стандартных формах : совер-
шенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) (1.1), представляющей сум -
му минтермов m
i
(произведений всех переменных, в которые каждая переменная
в прямой или инверсной форме входит только один раз),
∑
−
=
=
12
1
n
i
ii
mff
, (1.1) 
                                                  5

                            1. О С Н О В Ы БУЛЕ В О Й А ЛГЕ БР Ы

         Состояние в ход ов и в ы ход ов логических элементов (Л Э ) могутп ринимать
 толькод в араз    личны х значения, характериз  ую щ их не столькоколичеств енную ,
 сколькокачеств енную сторонуп роисход ящ их из        менений. П еременны е, оп исы -
 в аю щ ие э ти состояния, также п ринимаю т2 з   начения (в ц ифров ой технике «0» и
 «1»), п ричем лю бое из   менение состояния Л Э соотв етств ует п ереход у«0»→«1»
 или «1»→«0». В оз    можную д в ойств енность устраняю т п онятия п оложительной
 (п озитив ной) и отриц ательной (негатив ной) логик, аименно: в п оложительной
 логике более в ы сокомуп отенц иалусоотв етств ует логическая «1», в отриц атель-
 ной – логический «0». М атематикад в уз     начны х чиселесть алгебралогики, д ока-
 зательная баз   а(п остулаты 1… 5 и основ ны е теоремы 6… 12) которой п ред став ле-
 нав таблиц е 1.1.
        П рив ед енны е в таблиц е 1.1 соотнош ения имею т д в ойств енны й характер,
т.е. могут бы ть п олучены од ноизд ругогов з    аимной з аменой «0»↔«1», (+)↔(•).
О тметим также, чтов булев ой алгебре сп рав ед лив ы п ереместительны й и сочета-
тельны й з  аконы .

                                    1.1. Логи че ски е фу нкци и
         В булев ой алгебре какаргументы , так и функц ии могутп ринимать только
 2з  начения, т.е. область оп ред еления булев ы х функц ий в сегд а конечна. Сов о-
 куп ность з   начений аргументов Z св яз      анас числом п еременны х n соотнош ением
        n
 Z = 2 , а числосоотв етств ую щ их булев ы х функц ий, обоз            начаю щ их логические
                                                       z
 оп ерац ии над n п еременны ми, рав ноNz = 2 . Л огические функц ии од ной и д в ух
 п еременны х в месте с графическими обоз            начениями баз    исны х Л Э п рив ед ены в
 табл. 1.2.
        И зп рив ед енны х логических оп ерац ий (функц ий) основ ной баз            ис состав -
ляю т конъю нкц ия «и », д из       ъю нкц ия «и ли » и инв ерсия «и », образ    ую щ ие функ-
ц иональноп олную систему, д остаточную д ля реализ              ац ии лю бой п роиз в ольноз а-
д анной функц ии д в оичногоаргумента. П римеры д ругих функц иональноп олны х
наборов Л Э п рив ед ены в табл. 1.3. Н етруд ноз        аметить, чтобаз    исны е логические
функц ии «и », «и ли », «и -не», «и ли –не» легко обобщ аю тся на случай
n п еременны х: f 1(xn) = x1⋅x2⋅...⋅xn;; f7 (xn ) = x1+x2 +...+xn; f8(xn) = x1+x2+...+xn;
f 14(xn) = x1 ⋅x2 ⋅...⋅xn. Соотв етств ую щ ие логические устройств а (ап п аратурны е ана-
логи) буд утиметь n в ход ов .

                      1.2. Формы пре дст ав л е ни я бу л е в ы х фу нкци й
       К ак след ует изтеоремы раз   ложения (табл. 1.1, № 14), лю бую логическую
функц ию n п еременны х можноп ред став ить в д в ух станд артны х формах: сов ер-
ш енной д из ъю нктив ной нормальной форме (СД Н Ф ) (1.1), п ред став ляю щ ей сум-
муминтермов mi (п роиз   в ед ений в сех п еременны х, в которы е кажд ая п еременная
в п рямой или инв ерсной форме в ход иттолькоод ин раз         ),
              2 n −1
        f =    ∑ f i mi ,                                                                (1.1)
              i =1

Страницы