Схемотехника интегральных схем. Часть. 1. Цифровые структуры. Клюкин В.И - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
1. ОСНОВЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ
Состояние входов и выходов логических элементов (ЛЭ) могут принимать только
два различных значения, характеризующих не столько количественную, сколько каче-
ственную сторону происходящих изменений. Переменные, описывающие эти состоя-
ния, также принимают 2 значения (в цифровой технике “0” и “1”), причем любое изме-
нение состояния ЛЭ соответствует переходу “0”
→
”1” или “1”
→
”0”. Возможную двой-
ственность устраняют понятия положительной (позитивной) и отрицательной (негатив-
ной) логик, а именно: в положительной логике более высокому потенциалу соответст-
вует логическая “1”, в отрицательной - логический “0”. Математика двузначных чисел
есть алгебра логики, доказательная база (постулаты 1
÷
5 и основные теоремы 6
÷
14) ко-
торой представлена в табл. 1.1.
Приведенные в табл. 1.1 соотношения имеют двойственный характер, т.е. могут
быть получены одно из другого взаимной заменой “0”
↔
”1”, (+)
↔
(
•
). Отметим также,
что в булевой алгебре справедливы
переместительный
и
сочетательный
законы
.
1.1. Логические функции
В булевой алгебре как аргументы, так и функции могут принимать только 2 значе-
ния, т.е. область определения булевых функций всегда конечна. Совокупность значений
аргументов
Z
связана с числом переменных n соотношением
Z =2
n
, а число соответст-
вующих булевых функций, обозначающих логические операции над n переменными,
равно
N
z
= 2
z
. Логические функции одной и двух переменных вместе с графическими
обозначениями базисных ЛЭ приведены в табл. 1.2.
Из приведенных логических операций (функций) основной базис составляют
конъюнкция
и
, дизъюнкция
или
и инверсия
и
, образующие функционально полную сис-
тему, достаточную для реализации любой произвольно заданной функции двоичного ар-
гумента. Примеры других функционально полных наборов ЛЭ приведены в табл. 1.3.
Нетрудно заметить, что базисные логические функции
и, или, и-не, или-не
легко
обобщаются на случай n переменных:
f
1
(x
n
) = x
1
•
x
2
•
...x
n;
; f
7
(x
n
) = x
1
+x
2
+...+x
n
; f
8
(x
n
) =
=x
1
+ +x
2
+...+x
n
; f
14
(x
n
) = x
1
•
x
2
•
...
•
x
n
.
Соответствующие логические устройства (аппара-
турные аналоги) будут иметь n входов.
1.2.Формы представления булевых функций
Как следует из теоремы разложения (табл. 1.1, №14), любую логическую функцию
n переменных можно представить в двух стандартных формах: совершенной дизъюнк-
тивной нормальной форме (СДНФ) (1.1), представляющей сумму минтермов m
i
(произ -
ведений всех переменных, в которые каждая переменная в прямой или инверсной форме
входит только один раз),
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
N
0i
ii
mff
,
(1.1)
                                                  5




                              1. ОСНОВЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ

        Состояние входов и выходов логических элементов (ЛЭ) могут принимать только
 два различных значения, характеризующих не столько количественную, сколько каче-
 ственную сторону происходящих изменений. Переменные, описывающие эти состоя-
 ния, также принимают 2 значения (в цифровой технике “0” и “1”), причем любое изме-
 нение состояния ЛЭ соответствует переходу “0”→”1” или “1”→”0”. Возможную двой-
 ственность устраняют понятия положительной (позитивной) и отрицательной (негатив-
 ной) логик, а именно: в положительной логике более высокому потенциалу соответст-
 вует логическая “1”, в отрицательной - логический “0”. Математика двузначных чисел
 есть алгебра логики, доказательная база (постулаты 1÷5 и основные теоремы 6÷14) ко-
 торой представлена в табл. 1.1.
       Приведенные в табл. 1.1 соотношения имеют двойственный характер, т.е. могут
быть получены одно из другого взаимной заменой “0”↔”1”, (+)↔(•). Отметим также,
что в булевой алгебре справедливы переместительный и сочетательный законы.

                                  1.1. Логические функции
       В булевой алгебре как аргументы, так и функции могут принимать только 2 значе-
ния, т.е. область определения булевых функций всегда конечна. Совокупность значений
аргументов Z связана с числом переменных n соотношением Z =2n, а число соответст-
вующих булевых функций, обозначающих логические операции над n переменными,
равно Nz = 2z. Логические функции одной и двух переменных вместе с графическими
обозначениями базисных ЛЭ приведены в табл. 1.2.
       Из приведенных логических операций (функций) основной базис составляют
конъюнкция и, дизъюнкция или и инверсия и, образующие функционально полную сис-
тему, достаточную для реализации любой произвольно заданной функции двоичного ар-
гумента. Примеры других функционально полных наборов ЛЭ приведены в табл. 1.3.

      Нетрудно заметить, что базисные логические функции и, или, и-не, или-не легко
обобщаются на случай n переменных: f1(xn) = x1•x2•...xn;; f7(xn) = x1+x2+...+xn; f8(xn) =
=x1+ +x2+...+xn; f14(xn) = x1•x2•...•xn. Соответствующие логические устройства (аппара-
турные аналоги) будут иметь n входов.


                         1.2.Формы представления булевых функций
      Как следует из теоремы разложения (табл. 1.1, №14), любую логическую функцию
n переменных можно представить в двух стандартных формах: совершенной дизъюнк-
тивной нормальной форме (СДНФ) (1.1), представляющей сумму минтермов mi (произ-
ведений всех переменных, в которые каждая переменная в прямой или инверсной форме
входит только один раз),

                                     N
                               f =   ∑ f i mi ,                             (1.1)
                                     i =0

Страницы