ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Полярная система координат
Полярная система координат на плоскости задается точкой 0,
называемой полюсом, и осью 0x (называемой полярной осью). Каждой точке
плоскости можно поставить в соответствие полярные координаты r и
ϕ
.
Полярный радиус r представляет собой расстояние от точки до начала
координат, а полярный угол
ϕ
образуется лучом, проходящим через точку
из начала координат, и полярной осью. Угол отсчитывается в радианной
мере от положительного направления полярной оси против часовой стрелки.
∞<≤
r
0 ,
π
ϕ
20
≤
≤
(или
π
ϕ
π
≤
≤
−
).
Между прямоугольными и полярными координатами точки можно
записать простые соотношения, если совместить начала координатных
систем, а полярную ось выбрать так, чтобы она совпадала с осью
0x
прямоугольной системы координат.
Рис. 1
Уравнения некоторых кривых существенно упрощаются при переходе от
прямоугольной системы координат в полярную.
1)
Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат
в прямоугольной системе координат:
;
222
Ryx =+
в полярной системе координат: r = R.
2)
Уравнение прямой, проходящей через начало координат
в прямоугольной системе координат в форме с угловым
коэффициентом:
x
k
y
=
, где
ϕ
tg
=
k
;
в полярной системе координат:
cons
t
=
ϕ
.
3)
Уравнение кардиоиды
в декартовой системе координат:
;
)()(
222222
yxaaxyx +=−+
в полярной системе координат:
)cos1(
ϕ
+
=
a
r
.
4)
Уравнение лемнискаты Бернулли
в декартовой системе координат:
;
0)()(
222222
=−−+ yxayx
в полярной системе координат:
.
ϕ
2cos
22
ar =
5)
Уравнение улитки Паскаля
в декартовой системе координат:
;
)()(
222222
yxbaxyx +=−+
в полярной системе координат:
ϕ
cosab
r
+
=
.
120
