Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2.1. Основные понятия
Основные понятия теории функций нескольких переменных по своей
сути не отличаются от соответствующих представлений теории функций
одной переменной. Это, естественно, не означает, что все результаты,
полученные для функций одной переменной, можно механически
переносить на случай функций двух и более переменных. Необходимы
определенные обобщения и осторожность в интерпретации результатов.
Начнем с простейших
обобщений.
Расстояние между точками.
1) Чтобы описать положение точки
P
на числовой оси O
x
, достаточно
указать единственное число:
−
x
координату точки. Расстояние между
точками
)(
x
P
и числовой прямой определяется формулой
)(
00
xP
2
000
)(||),( xxxxPP −=−=
ρ
.
2) Любая точка
P
координатной плоскости
x
Oy
описывается
упорядоченной парой вещественных чисел
),( y
x
, а расстояние между
точками
),( y
x
P
и этой плоскости вычисляется по формуле
),(
000
yxP
2
0
2
00
)()(),( yyxxPP −+−=
ρ
.
3) Точка
P
трехмерного пространства задается тремя координатами
),,( zy
x
, так что расстояние между точками
),,( zy
x
P
и
равно
),,(
0000
zyxP
2
0
2
0
2
00
)()()(),( zzyyxxPP −+−+−=
ρ
.
Говоря, например, о точке
),,( zy
x
P
, мы фактически подразумеваем
набор независимых переменных
),,( zy
x
, не обязательно вкладывая в это
понятие геометрический смысл. В этом же смысле используется термин
“точка
-мерного пространства”, т.е. в смысле “упорядоченная
совокупность чисел (
)”. Расстояние между точками
и
-мерного пространства определяется формулой
n
n
xxx ,...,,
21
),...,,(
21 n
xxxP
),...,,(
21 n
aaaP
n
22
22
2
110
)(...)()(),(
nn
axaxaxPP −++−+−=
ρ
, (1)
что является естественным обобщением привычного понятия “расстояние”.
Определение функции
Если каждой точке
некоторой области -мерного
пространства поставлено в соответствие значение переменной
, то говорят,
что в области
задана функция переменных :
),...,,(
21 n
xxxP
D n
u
D u
n
xxx ,...,,
21
),...,,(
21 n
xxxfu
=
.
Область
называется областью определения функции. D
17

Страницы