ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2.2. Пределы
Напомним, что в случае функции одной переменной математическое
утверждение
Axf
ax
=
→
)(lim
означает, что значения функции
)(
x
f
становятся сколь угодно близкими к
числу
A
- по мере того, как расстояние между точками
x
и стремится к
нулю.
a
Предел функции нескольких независимых переменных имеет в
точности такой же смысл, а само понятие предела функций нескольких
переменных вводится совершенно аналогично тому, как это делается для
функции одной переменной.
Пусть функция
)(
P
f
(любого числа переменных) определена в
некоторой окрестности точки
.
0
P
Тогда число
A
называется пределом функции
)(
P
f
при ,
если для любого сколь угодно малого положительного числа
0
PP →
ε
существует
такое число 0>
δ
, что как только расстояние
),(
0
PP
ρ
между точками
P
и
становится меньше
0
P
δ
, то выполняется неравенство
ε
<
−
APf )(.
Для обозначения предела наряду с привычной математической
символикой типа
APf
PP
=
→
)(lim
0
. (2)
используются и другие формы записи. Так, в случае функции двух
переменных мы имеем дело с
двойным пределом, что можно записать в
виде
Ayxf
by
ax
=
→
→
),(lim . (3)
Можно выбрать конкретный порядок предельного перехода, например,
)),(lim(lim yxf
byax →→
или .
)),(lim(lim yxf
axby →→
Пределы, представленные в таком виде, называются
повторными.
Необходимым и достаточным условием существования двойного предела
(3) является равенство между собой повторных пределов:
),(limlim),(limlim yxfyxf
axbybyax →→→→
=
. (4)
При этом двойной предел равен повторным:
),(limlim),(limlim),(lim yxfyxfyxf
axbybyax
by
ax →→→→
→
→
=
=
.
19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
