Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20
Все свойства предела функции сохраняются при переходе от одной к
нескольким переменным:
• Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
)(lim)(lim
00
PfcPcf
PPPP →→
=
. (5)
• Если существует каждый из пределов, и , то
существуют и пределы суммы, произведения и частного от деления
функций. При этом
)(lim
0
Pf
PP→
)(lim
0
Pg
PP→
–
предел суммы равен сумме пределов,
)(lim)(lim))()((lim
000
PgPfPgPf
PPPPPP →→→
±
=
±
; (6)
–
предел произведения равен произведению пределов,
)(lim)(lim)()(lim
000
PgPfPgPf
PPPPPP →→→
=
; (7)
–
предел частного от деления функций равен частному от деления
пределов (при условии, что 0)(lim
0
≠
→
Pg
PP
),
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
Pg
Pf
Pg
Pf
PP
PP
PP
→
→
→
= . (8)
Пример. Вычислить предел функции
)1(
sin
),(
yx
xy
yxf
+
=
при
)3,0(),( →y
x
.
Решение: Проверим выполнение условия (4).
Фиксируем переменную
и устремим y
x
к нулю:
)1(
sin
lim
)1(
1
)1(
sin
lim
00
y
y
x
xy
yyx
xy
xx
+
=
+
=
+
→→
.
Теперь пусть
:
3→y
4
3
)1(
lim
3
=
+
→
y
y
y
.
Изменим порядок предельного перехода: сначала фиксируем переменную
x
и найдем предел при
, а затем устремим
3→y
x
к нулю:
x
x
yx
xy
y
4
3sin
)1(
sin
lim
3
=
+
→
⇒
4
3
4
3sin
lim
)1(
sin
limlim
030
==
+
→→→
x
x
yx
xy
xyx
.
Повторные пределы равны между собой. Следовательно,
4
3
)1(
sin
lim
3
0
=
+
→
→
yx
xy
y
x
.

Страницы