Исследование функций. Коноплева И.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

5
Указание к задачам 1, 2
Для построения графика функции с помощью производной первого по-
рядка следует:
1. Найти область определения функции )(
x
f
y
=
.
2.
Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
3.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Найти
промежутки знакопостоянства функции.
4.
Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
5.
Для уточнения графика можно найти несколько точек, принадлежащих
графику.
Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на
отрезке [a;b], если f(x
1
)< f(x
2
) при a
≤
x
1
<x
2
≤
b (или соответственно f(x
1
)>f(x
2
)
при a
≤
x
1
<x
2
≤
b).
Теорема 1.
(Достаточный признак возрастания или убывания функ-
ции.)
Пусть функция f непрерывна на [a;b]. Если при х
∈
(a;b) f '(x)>0, то
функция возрастает, если f '(x)<0, то функция убывает на [a;b].
Определение.
Функция f(x) имеет в точке х
0
экстремум (максимум или
минимум), если она определена в интервале (х
0
-
δ
; х
0
+
δ
) и для всех х
∈
(х
0
-
δ
;
х
0
+
δ
) выполнено, соответственно, неравенство f(x)<f(x
0
) или f(x)>f(x
0
).
Теорема 2.
(Необходимое условие экстремума.) В точке экстремума
f '(x
0
) равна 0 или не существует.
Теорема 3.
(I достаточные условия экстремума). Если
1) функция определена и непрерывна в некоторой окрестности (х
0
-
δ
; х
0
+
δ
)
точки х
0
, такой что f '(x
0
) равна 0 или не существует;
2) f(x) имеет конечную производную f '(x) на множестве (х
0
-
δ
; х
0
)
∪
(х
0
; х
0
+
δ
);
3) производная имеет разные знаки на промежутках (х
0
-
δ
; х
0
) и (х
0
; х
0
+
δ
),
то х
0
- точка экстремума.
Замечание. В интервале возрастания (убывания) функции могут быть,
отдельные точки, в которых y'=0.
Задача 1
Построить график функции с помощью производной первого порядка
y=2х
3
– 15х
2
+36х – 23.
Решение.
1.
Областью определения данной функции, как всякого многочлена, явля-
ется вся числовая прямая. D(f)=
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
3.
Точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства.
С осью Оу: х=0, у=2
⋅0 – 15⋅0 + 36⋅0 – 23= – 23.
С осью Ох: у=0, 2х
3
– 15х
2
+ 36 – 23=0.
(Если решение уравнения y(x)=0 нельзя получить элементарным путем,
соответствующий пункт исследования можно опустить).

Страницы