ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример (к задаче 11). Найти линейный интеграл векторного поля
kxyjxziyza ++−= вдоль первого витка винтовой линии
htztaytax === ,sin ,cos (в направлении, соответствующем возрастанию па-
раметра
t
).
Решение. Очевидно, первому витку линии отвечает изменение парамет-
ра
t
от 0 до
π
2. Поскольку линия задана параметрически, для вычисления ли-
нейного интеграла воспользуемся формулой (2.9), учитывая, что
:,,; ,cos ,sin xyaxzayzahztaytax
zyx
==−==
′
=
′
−=
′
()
.22cos
4
1
2
2sin
2
1
cossincossin
)sincoscoscossinsin(),(
22
0
22
2
2
0
2
2222
2
0
2
2
0
hat
t
hadtttha
dttthathtathta
dtthatatahttatahttarda
L
π
π
π
π
π
=
−
∫
=
+=
=++
∫
=
=⋅+⋅⋅
∫
+⋅⋅=
∫
Ответ:
.2
22
ha
π
Пример (к задаче 12). Найти модуль циркуляции векторного поля a
вдоль контура
L
:
=+
=+
−+−=
.42
,4
: ,2104
22
2
zx
yx
Lkxjziya
Решение. Модуль циркуляции не зависит от ориентации контура
L
, по-
этому ее можно выбрать произвольной.
Далее,
L
является пересечением цилиндра
4
22
=+ yx
и плоскости
xz 24 −= ; это эллипс (см. рис. 2.20). Найдем циркуляцию двумя способами
– непосредственно и по формуле Стокса.
Способ 1. Составим параметрические уравнения контура
L
. Поскольку
его проекцией на плоскость xOy является окружность
4
22
=+ yx
, то мож-
но положить
π
20 ,sin2 ,cos2 ≤≤== ttytx . Тогда из уравнения плоскости по-
лучаем: tz cos44 −= . Таким образом
≤≤
−=
=
=
.20
,cos44
,sin2
,cos2
:
π
t
tz
ty
tx
L Найдем циркуляцию
по формуле (2.9) при
2
2 ,10 ,4 xazaya
zyx
−==−= ;
0
1
=t
,
π
2
2
=t
:
[
−
′
−+
′
⋅−=
∫∫
)sin2)(cos44(10)cos2(sin24),(
2
0
ttttrda
L
π
