Векторный анализ. Коноплева И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

чтобы из конца вектора
n
обход контура
L
был виден совершающимся против
часовой стрелки (рис. 2.18).
n
r
S
z
L
0 y
x
Рис. 2.18
Имеет место формула
,coscos
cos
dS
y
a
x
a
x
a
z
a
z
a
y
a
dzadyadxa
x
y
z
x
S
y
z
L
zyx
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∫∫
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∫
++
γβ
α
(2.12)
которую называют формулой Стокса. С учетом (2.2), (2.8) и (2.10) ее можно
записать так:
()()
dSMarotdSMnMarotrda
S
n
SL
∫∫∫∫∫
== )()(),( , (2.13)
и прочитать: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура
L
равна
потоку ротора поля через поверхность, опирающуюся на контур
L
.
2.8 Решение типовых примеров
Пример (к задаче 10). Найти работу силы
jyxiyxF )()( −−+= при
перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
от точки )0,(aA к точке )0,( aB − .
Решение. Работа силы
kajaiaF
zyx
++= выражается линейным инте-
гралом
()
dzadyadxardF
zy
AB
x
AB
++=
∫∫
,, который в данном случае удобно вы-
числить по формуле (2.9) с 0 ),( , ≡−−=+=
zyx
ayxayxa , используя пара-
метрическое представление эллипса: 0 ,cos ,cos === ztbytax . Найдем зна-
чения
1
t
и
2
t
параметра
t
, соответствующие точкам A и B (см. рис.2.19).

Страницы