Векторный анализ. Коноплева И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

∫∫∫∫
=ΘΘ
∫∫
+ΘΘ+=
ππ
π
π
π
π
ϕϕϕϕ
2
0
2
0
1
0
2
4
3
1
0
2
4
3
)(sinsincos)sin(cos ddrrdddrrd
,
82
1
1
2
1
4
1
2
2
sin
4
0
4
2
2
0
1
4
0
2
π
πϕ
π
π
π
=
−⋅⋅=
Θ
⋅⋅+=
r
так как
0)cos(sin)sin(cos
2
0
2
0
=
∫
−=+
π
π
ϕϕϕϕϕ
d .
Окончательно
48
2)(2
ππ
=⋅=++=
∫∫∫
V
dVzyxK .
Ответ:
4
π
=K .
2.6 Линейный интеграл. Циркуляция. Ротор
Линейным интегралом вектора kMajMaiaMa
zyx
)()()( ++= вдоль
ориентированной кривой
AB
называется криволинейный интеграл II–го рода
(по координатам).
()
∫∫
++=
AB AB
zyx
dzadyadxarda .,
(2.8)
Пусть кривая AB задана параметрически:
Rttzztyytxx ⊂ℑ∈=== ),( ),( ),(.
Тогда криволинейный интеграл второго рода сводится к определенному:
()
()
()
,)]()(),(),(
)()(),(),()())(),(),(([
,
2
1
dttztztytxa
tytztytxatxtztytxa
dzadyadxarda
z
t
t
yx
AB AB
zyx
′
+
∫
+
′
+
′
=
∫∫
=++=
(2.9)
где
1
t
и
2
t
– значение параметра
t
, соответствующие точкам A и B.
Физический смысл: если
a
– силовое поле, то линейный интеграл
∫
AB
rda ),( представляет работу по перемещению материальной точки вдоль кри-
вой от A до B. Если же
a
– стационарное поле скоростей движущейся несжи-
маемой жидкости с плотностью 1≡
ρ
, то линейный интеграл характеризует ко -
личество жидкости, протекающей за единицу времени через трубку постоянно-

Страницы