Векторный анализ. Коноплева И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

()
),,(3232
),,(
2
222
1
22
ϕ
ϕ
rfrzyxz
rfrzyxz
=−=⇔+−=
==⇔+=
()
.),(),(,20,
3
2
0:),,(),,(
,,,
;20
;
3
2
20
;0
;32
),(),(
21
2
21
≤≤≤≤≤≤=∈
∈⇔∈
≤≤
=
⇔
≤≤
≥
=−
⇔=
ϕϕπϕϕϕ
ϕ
πϕ
πϕ
ϕϕ
rfzrfrzrVzrM
LzrVM
r
r
rr
rfrf
MMM
Тогда
()
.
81
32
4
3
3
2
322
0
3
2
43
2
2
0
3
2
0
32
3
2
0
2
2
π
π
πϕ
π
=
−−=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=−−==
−
rr
r
drrrrdzrdrddxdydz
V
r
r
Ответ:
π
81
64
=K .
Пример (к задаче 9). Найти поток векторного поля
a
через замкнутую
поверхность S (нормаль внешняя).
()()()
≥=+
=++
+++++=
.0 ,
,1
: ,
222
222
222
zzyx
zyx
Skxyzjxzyiyzxa
Решение. Применим формулу Остроградского– Гаусса:
(
)
(
)
(
)
∫∫∫ ∫∫∫
++=
∂
+∂
+
∂
+∂
+
∂
+∂
=
VV
dVzyxdV
z
xyz
y
xzy
x
yzx
K )(2
222
(2.7)
Остается вычислить тройной интеграл (2.7).
Поверхность S, ограничивающая тело V, образована частями сферы
1
222
=++ zyx
и конуса
222
zyx =+
(см. рис.2.14).
Вычислим интеграл (2.7), перейдя к сферическим координатам Θ,,
ϕ
r :
Θ=
Θ=
Θ=
sin
sincos
coscos
rz
ry
rx
ϕ
ϕ
(см. рис. 2.15).

Страницы