Векторный анализ. Коноплева И.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, поверхность S – сфера радиуса
1=R
с центром в точке (1;1;0),
тело V – шар, ограниченный этой сферой. Его объем
πµ
3
4
=V . Тогда
3
2
3
4
2
1
π
π
=⋅=K .
Ответ:
π
3
2
=K .
Пример (к задаче 8). Найти поток векторного поля
a
через замкнутую
поверхность S (нормаль внешняя).
()
≥+=
+−=
+−++=
).0(,
,32
: ,2)3()4(
222
22
zyxz
yxz
Skzjyzyxa
Решение. Так же, как в предыдущем примере, применим формулу Ост-
роградского – Гаусса:
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫
=+−=
=
∂
∂
+
∂
−∂
+
∂
+∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
V
V
V
z
y
x
S
n
VdV
dV
z
z
y
yz
x
yx
dV
z
a
y
a
x
a
dSaK
.2)211(
)2()3()4(
µ
Найдем объем тела V, ограниченного поверхностью S. Из рис.2.1 2 видно, что S
представляет собой объединение соответствующих частей конуса
222
yxz +=
)0( ≥z и параболоида вращения
(
)
22
32 yxz +−=
.
z
2
S
y
0
D
x
Рис.2.1 2
Объем тела, ограниченного снизу и сверху соответственно графикам функций
),(
1
yxfz =
и
),(
1
yxfz =
, можно вычислить по формуле
()
∫∫
−=
D
dxdyyxfyxfV ),(),(
12
µ
, где D – проекция тела на плоскость xOy . В
нашем случае
() ()
()
,32, ,,
22
2
22
1
yxyxfyxyxf
+−=+=
D – круг с центром в начале координат.

Страницы