Векторный анализ. Коноплева И.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом,
()
(
)
∫∫
+−+−=
D
dxdyyxyxV
2222
32
µ
. Для вычисления это-
го интеграла необходимо знать радиус R круга D. Найдем его, решая относи-
тельно
22
yxR += систему уравнений
()
+=
+−=
.
,32
22
22
yxz
yxz
Подставляя в правые части уравнений системы
22
yxR += и приравнивая их,
получим
.
6
51
,023 ,32
2,1
22
±−
==−+=− RRRRR
Так как нас интересует только положительное значение корня, то
3
2
=R . Вы-
числим V
µ
в полярных координатах (для круга ,20
πϕ
≤≤
3
2
0 ≤≤ r ):
()()
.
81
32
0
34
3
2
32232
3
2
32
2
2
0
3
2
0
2
3
2
0
2
ππ
πϕµ
π
=
−−=
∫∫
=−−=
∫
−−=
rr
r
drrrrdrrrdV
Окончательно
πµ
81
64
2 == VK .
Замечание. Объем тела V можно вычислить по формуле
∫∫∫
=
V
dxdydzV
µ
,
в которой для вычисления тройного интеграла можно перейти к цилиндриче-
ским координатам ),,( zr
ϕ
:
=
=
=
zz
ry
rx
ϕ
ϕ
sin
cos
(см. рис. 2.13)
z
М
z
0 r y
ϕ
x
Рис. 2.13

Страницы