Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Как и в теории орбитального момента
ˆ
l, для записи матриц Па-
ули ˆσ
i
и операторов проекций спина ˆs
i
в явном виде обычно ис-
пользуется представление, в котором диагональна матрица (σ
z
)
pq
(s
z
-
представление). В этом представлении (σ
z
)
11
= −(σ
z
)
22
= 1, а (σ
z
)
12
=
= (σ
z
)
21
= 0. Напротив, матрицы (σ
x
)
pq
и (σ
y
)
pq
в этом представле-
нии антидиагональны ((σ
x
)
11
= (σ
x
)
22
= (σ
y
)
11
= (σ
y
)
22
= 0), что
обусловлено их антикоммутацией с (σ
z
)
pq
(это легко проверить само-
стоятельно). Следовательно, с учетом эрмитовости каждая из матриц
(σ
x
)
pq
и (σ
y
)
pq
определяется только одним комплексным параметром:
(σ
x
)
12
= (σ
x
)
∗
21
≡ a и (σ
y
)
12
= (σ
y
)
∗
21
≡ b. Более того, из (1.5) следует,
что |a|
2
= |b|
2
= 1, т. е. a и b могут быть записаны в виде a = e
iα
и
b = e
iβ
с вещественными фазами α и β. Наконец, из антикоммутации
ˆσ
x
и ˆσ
y
легко видеть, что фазы α и β сдвинуты на угол π/2: α−β = π/2.
Таким образом, явный вид матриц Паули определяется с точностью до
одного произвольного вещественного параметра
3
, скажем α, который
принято полагать равным нулю (так что a = 1, а b = −i).
Выпишем явный вид матриц Паули:
ˆσ
x
=
0 1
1 0
!
; ˆσ
y
=
0 −i
i 0
!
; ˆσ
z
=
1 0
0 −1
!
. (1.11)
Вместе с единичной матрицей
ˆ
1 матрицы Паули образуют базис в про-
странстве комплексных матриц 2 × 2, по которому может быть одно-
значно разложена всякая двумерная матрица
ˆ
M =
a c
d b
!
с произ-
вольными комплексными числами a, b, c, d. В самом деле, легко увидеть,
что:
ˆ
M =
a c
d b
!
=
1
2
(a + b) + (a − b) (c + d) + (c − d)
(c + d) − (c − d) (a + b) − (a − b)
!
=
=
1
2
(a + b)
ˆ
1 + (c + d) ˆσ
x
+ i(c − d) ˆσ
y
+ (a − b) ˆσ
z
. (1.12)
1.3. Спиновая зависимость волновых функций
Вначале обсудим, что представляет собой волновая функция элек-
трона в координатном представлении с учетом спина. В пренебреже-
нии спином это функция координат и времени Ψ(r, t) = Ψ(x, y, z; t),
3
Этот произвол отражает инвариантность коммутационных соотношений (из
которых, собственно, мы и установили вид матриц Паули) относительно унитарных
преобразований.
10
    Как и в теории орбитального момента l̂, для записи матриц Па-
ули σ̂i и операторов проекций спина ŝi в явном виде обычно ис-
пользуется представление, в котором диагональна матрица (σz )pq (sz -
представление). В этом представлении (σz )11 = −(σz )22 = 1, а (σz )12 =
= (σz )21 = 0. Напротив, матрицы (σx )pq и (σy )pq в этом представле-
нии антидиагональны ((σx )11 = (σx )22 = (σy )11 = (σy )22 = 0), что
обусловлено их антикоммутацией с (σz )pq (это легко проверить само-
стоятельно). Следовательно, с учетом эрмитовости каждая из матриц
(σx )pq и (σy )pq определяется только одним комплексным параметром:
(σx )12 = (σx )∗21 ≡ a и (σy )12 = (σy )∗21 ≡ b. Более того, из (1.5) следует,
что |a|2 = |b|2 = 1, т. е. a и b могут быть записаны в виде a = eiα и
b = eiβ с вещественными фазами α и β. Наконец, из антикоммутации
σ̂x и σ̂y легко видеть, что фазы α и β сдвинуты на угол π/2: α−β = π/2.
Таким образом, явный вид матриц Паули определяется с точностью до
одного произвольного вещественного параметра 3 , скажем α, который
принято полагать равным нулю (так что a = 1, а b = −i).
    Выпишем явный вид матриц Паули:
                      !                    !                 !
                  0 1              0 −i                1 0
          σ̂x =         ; σ̂y =              ; σ̂z =           .        (1.11)
                  1 0              i 0                 0 −1

Вместе с единичной матрицей 1̂ матрицы Паули образуют базис в про-
странстве комплексных матриц 2 × 2, по которому может быть !     одно-
                                                      a c
значно разложена всякая двумерная матрица M̂ =                с произ-
                                                      d b
вольными комплексными числами a, b, c, d. В самом деле, легко увидеть,
что:
                   !                                          !
               a c     1 (a + b) + (a − b) (c + d) + (c − d)
        M̂ =         =                                          =
               d b     2  (c + d) − (c − d) (a + b) − (a − b)
             1                                                     
         =      (a + b)1̂ + (c + d) σ̂x + i(c − d) σ̂y + (a − b) σ̂z .   (1.12)
             2

1.3.    Спиновая зависимость волновых функций
   Вначале обсудим, что представляет собой волновая функция элек-
трона в координатном представлении с учетом спина. В пренебреже-
нии спином это функция координат и времени Ψ(r, t) = Ψ(x, y, z; t),
  3 Этот произвол отражает инвариантность коммутационных соотношений (из
которых, собственно, мы и установили вид матриц Паули) относительно унитарных
преобразований.


                                        10

Страницы