Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ˆσ
2
x
= ˆσ
2
y
= ˆσ
2
z
=
ˆ
1, ˆs
2
x
= ˆs
2
y
= ˆs
2
z
= (}
2
/4)
ˆ
1, (1.5)
откуда
ˆ
s
2
=
3
4
}
2
ˆ
1 = }
2
1
2
1
2
+ 1
ˆ
1.
(1.6)
Последнее равенство показывает, что формула для собственных значе-
ний s
2
оператора
ˆ
s
2
аналогична соответствующей формуле для орби-
тального момента:
s
2
= }
2
s(s + 1), (1.7)
а σ
2
= 4s(s + 1), где спиновое квантовое число s =
1
2
в соответствии с
исходными постулатами. Соответствующее магнитное квантовое число
m
s
определяется в s
z
-представлении соотношением s
z
= }m
s
и прини-
мает значения от −s до +s через единицу: m
s
= ±
1
2
.
Используя (1.4) и (1.5), нетрудно убедиться, что матрицы Паули с
разными индексами антикоммутируют, например:
2i(ˆσ
y
ˆσ
z
+ ˆσ
z
ˆσ
y
) = ˆσ
y
(2iˆσ
z
) + (2iˆσ
z
)ˆσ
y
=
= ˆσ
y
(ˆσ
x
ˆσ
y
− ˆσ
y
ˆσ
x
) + (ˆσ
x
ˆσ
y
− ˆσ
y
ˆσ
x
)ˆσ
y
= −ˆσ
2
y
ˆσ
x
+ ˆσ
x
ˆσ
2
y
= 0
и т. д., что можно записать в виде следующих антикоммутационных
соотношений:
{ˆσ
k
, ˆσ
l
} = 2δ
kl
, k, l = x, y, z. (1.8)
Комбинируя их с (1.4) и (1.5), получаем еще одно важное соотношение
ˆσ
k
ˆσ
l
= i
X
m
ε
klm
ˆσ
m
+ δ
kl
ˆ
1, k, l, m = x, y, z (1.9)
показывающее, что всякое скалярное выражение с произведениями лю-
бого числа матриц Паули сводится к линейной функции от ˆσ
i
вида
a + b(
ˆ
σc) (где введено «скалярное произведение» матриц Паули и трех-
мерного вектора c: (
ˆ
σc) = ˆσ
x
c
x
+ ˆσ
y
c
y
+ ˆσ
z
c
z
). В частности, с помощью
(1.9) тривиально проверяется полезное соотношение
(
ˆ
σa)(
ˆ
σb) = (ab) + i(
ˆ
σ[a × b]). (1.10)
Часто бывает удобно использовать явный вид операторов ˆσ
i
в мат-
ричной форме: ˆσ
i
→ (σ
i
)
pq
, где p, q = 1, 2. Эти матрицы эрмито-
вы, (σ
i
)
pq
= (σ
i
)
∗
qp
(как и матрицы (s
i
)
pq
) и унитарные (поскольку
ˆσ
2
i
= ˆσ
i
ˆσ
+
i
= ˆσ
+
i
ˆσ
i
=
ˆ
1).
9
              σ̂x2 = σ̂y2 = σ̂z2 = 1̂,        ŝ2x = ŝ2y = ŝ2z = (}2 /4)1̂,              (1.5)
откуда
                                                              
                             2  3           1             1
                            ŝ = }2 1̂ = }2                 + 1 1̂.                        (1.6)
                                4           2             2
Последнее равенство показывает, что формула для собственных значе-
ний s2 оператора ŝ2 аналогична соответствующей формуле для орби-
тального момента:
                           s2 = }2 s(s + 1),                  (1.7)
а σ 2 = 4s(s + 1), где спиновое квантовое число s = 12 в соответствии с
исходными постулатами. Соответствующее магнитное квантовое число
ms определяется в sz -представлении соотношением sz = }ms и прини-
мает значения от −s до +s через единицу: ms = ± 12 .
   Используя (1.4) и (1.5), нетрудно убедиться, что матрицы Паули с
разными индексами антикоммутируют, например:

         2i(σ̂y σ̂z + σ̂z σ̂y ) = σ̂y (2iσ̂z ) + (2iσ̂z )σ̂y =
         = σ̂y (σ̂x σ̂y − σ̂y σ̂x ) + (σ̂x σ̂y − σ̂y σ̂x )σ̂y = −σ̂y2 σ̂x + σ̂x σ̂y2 = 0

и т. д., что можно записать в виде следующих антикоммутационных
соотношений:
                    {σ̂k , σ̂l } = 2δkl , k, l = x, y, z.   (1.8)

Комбинируя их с (1.4) и (1.5), получаем еще одно важное соотношение
                            X
              σ̂k σ̂l = i        εklm σ̂m + δkl 1̂,         k, l, m = x, y, z              (1.9)
                            m

показывающее, что всякое скалярное выражение с произведениями лю-
бого числа матриц Паули сводится к линейной функции от σ̂i вида
a + b(σ̂c) (где введено «скалярное произведение» матриц Паули и трех-
мерного вектора c: (σ̂c) = σ̂x cx + σ̂y cy + σ̂z cz ). В частности, с помощью
(1.9) тривиально проверяется полезное соотношение

                         (σ̂a)(σ̂b) = (ab) + i(σ̂[a × b]).                            (1.10)

     Часто бывает удобно использовать явный вид операторов σ̂i в мат-
ричной форме: σ̂i → (σi )pq , где p, q = 1, 2. Эти матрицы эрмито-
вы, (σi )pq = (σi )∗qp (как и матрицы (si )pq ) и унитарные (поскольку
σ̂i2 = σ̂i σ̂i+ = σ̂i+ σ̂i = 1̂).


                                             9

Страницы